מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 81 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :8 ﺗﺣﻭﻳﻼﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ



 



(2) ﻣﻌﻄﺎﺓ ﺍﻟﺪّﻭﺍﻝ

.

( ) h x g x g x ,

( ) ( ) ln( x

)

f x

( ) ln

x

,

2

)ﺃ( ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ ﺍﻟﺠﺒﺮﻱ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) h x ؟ )ﺏ( ) i ( ﻣﺎ ﺍﻟﺘّﺤﻮﻳﻼ ﻥ ﺍﻟﻠّﺬﺍﻥ ﺗﻢ ﺗﻔﻌﻴﻠﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ، ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) h x ؟ ) ii ( ﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻞ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪّﻭﺍﻝ ؟ )ﺝ( ﻣﺎ ﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘّﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) h x ؟ )ﺩ( ﺍُﺭﺳﻤﻮﺍ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﻫﻴﺌﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺮّﺳ ﻮﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﱠﺔ ﻟﻠﺪّﻭﺍﻝّ ( ) f x ، ( ) g x ﻭَ ( ) h x . )ﻫـ( ﻫﻞ ﻫﻨﺎﻙ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) h x ﻭﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ؟ ﻋﻠّﻠﻮﺍ . )ﻭ( ﻫﻞ ﻫﻨﺎﻙ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ﻭﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ؟ ﻋﻠّﻠﻮﺍ . اﻟﺤﻞّ: )ﺃ( 2 ( ) ln( ) h x x   )ﺏ( ) i ( ﺇﺯﺍﺣﺔ ﺃﻓﻘﻴّﺔ ﺑﻮﺣﺪﺗَﻴْﻦ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻭﺍﻧﻌﻜﺎﺱ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ x . ) ii ( ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﺮﻳﻒ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ﻫﻮ 0 x  . ﺑﻤﺎ ﺃﻧّﻨﺎ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ﻣﻦ ﺇﺯﺍﺣﺔ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴ ﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ﻭﺣﺪﺗَﻴْﻦ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ، ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ﻫﻮ 2 x  . ﺑﻤﺎ ﺃﻧّﻨﺎ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ( ) h x ﻣﻦ ﺍِﻧﻌﻜﺎﺱ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ x ﻟﻠ ﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ، ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ( ) h x ﻫﻮ ﺃﻳﻀًﺎ 2 x  . )ﺝ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘّﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻫﻮ 2 x  .

y

( ) g x

)ﺩ( ﻧﺘﺞ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍ ﻟّﺔ ( ) g x ﻣﻦ ﺇﺯﺍﺣﺔ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ﺑﻮﺣﺪﺗَﻴْﻦ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ، ﺑﺤﻴﺚ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺍﻟﻤﺘﻘﻄّﻊ ( ) g x ) ﺍُﻧﻈﺮﻭﺍ ﺍﻟﺮّﺳﻢ .( ﺑﻌﺪ ﻫﺬﻩ ﺍﻹﺯﺍﺣﺔ، ﻧﺘﺞ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟّﺔ ( ) h x ﻣﻦ ﺍِﻧﻌﻜﺎﺱ ﺑﺎﻟﻨّﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻮﺭ x ﻟﻠﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x . ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) h x ﻫﻮ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻷﺳﻮﺩ ﺍﻟﻐﺎﻣﻖ ﺍﻟﺴّﻤﻴﻚ . )ﻫـ( ﺑﻨﺎء ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟﺘَﻴْﻦ ، ﻧﻼﺣﻆ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺮّﺳﻤَﻴْﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﱠﻴْﻦ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ( ) h x ﻭَ ( ) g x . ﻧﺒﻴّﻦ ﻫﺬﺍ ﺃﻳﻀًﺎ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺣﻞ ﺟﺒﺮﻱ ﻣﻨﺎﺳﺐ . ﻳﺘﺤﻘّﻖ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘّﻘﺎﻁﻊ :

( ) f x

2 

x

1

( ) h x

( ) ( ) g x h x 

2        2 ) ln( ) ln ( x x







ln(

)

ln(

)

/ :

2

2

2 0 2

x

x

 

2  

2 1  ﻧﺠﺪ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻲ y ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘّﻘﺎﻁﻊ : ﺃﻱ ﺃﻥ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴّﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘّﻘﺎﻁﻊ ﻫﻲ 1 x   







0

ln(

)

ln ) ( x

2

2 0

x

x

e

x

1 1 2 1 0 ( ) ln( ) ln g      

1 0 ( , )  . )ﻭ( ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ( ) f x ﻭَ ( ) g x ﻫﻤﺎ ﺩﺍﻟّﺘﺎﻥ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳّﺘﺎﻥ ﺗ ﻤﺎﻣًﺎ، ﻭﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ﻧﺘﺞ ﻋﻦ ﺇﺯﺍﺣﺔ ﺃﻓﻘﻴّﺔ ) ﻭﺣﺪﺗﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ( ﻟﻠﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ، ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧّﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺑﻴﻦ ﻫﺎﺗَﻴْﻦ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ . ﻧﺒﻴّﻦ ﻫﺬﺍ ﺃﻳﻀًﺎ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺣﻞ ﺟﺒﺮﻱ ﻣﻨﺎﺳﺐ . ﱠﻴﻴْﻦ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ﻛﻲ ﻧﻔﺤﺺ ﻫﻞ ﻳﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺮّﺳﻤَﻴْﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧ ( ) g x ﻭَ ( ) f x ، ﻧﺴﺎﻭﻱ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮَﻳْﻦ : ( ) ( ) f x g x  ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : 2 ln ln( ) x x   ﻣﻦ ﻫﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : 2 x x   ، ﱞﻞ ﺍﻟّﺘﻲ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻬﺎ ﺣ . ﻟﺬﺍ، ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺑﻴﻦ ﻫﺎﺗَﻴْﻦ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ .

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –