מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 80 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :8 ﺗﺣﻭﻳﻼﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

أ ﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

( ) ln f x x  .

(1) ﻣﻌﻄﺎﺓ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ

)ﺃ( ﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ؟ )ﺏ( ﻣﺎ ﻫﻲ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴّﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ x ؟ )ﺝ( ﻣﺎ ﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘّﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ؟ )ﺩ( ﺍُﺭﺳﻤﻮﺍ ﺭﺳ ﺎ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ 3 ﺎ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴ 3 ﻤًﺎ ﺑﻴﺎﻧﻴ ( ) f x . ﻣﻌﻄﺎﺓ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ﺍﻟّﺘﻲ ﺗُﺤﻘّﻖ ( ) ( ) g x f x   . )ﻫـ( ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ ﺍﻟﺠﺒﺮﻱ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ؟ )ﻭ( ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺘّﺤﻮﻳﻞ ﺍﻟّﺬﻱ ﺗﻢ ﺗﻄﺒ ﻴﻘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ؟

)ﺯ( ﻣﺎ ﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘّﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ؟ )ﺡ( ﻫﻞ ﻫﻨﺎﻙ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺮّﺳﻤَﻴْﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﱠ ﻴْﻦ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ؟ )ﻁ( ﺍُﺭﺳﻤﻮﺍ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ

ﱠﻴﻴْﻦ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ﻫﻴﺌﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺮّﺳﻤَﻴْﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧ ( ) f x ﻭَ ( ) g x .

اﻟﺤﻞّ: )ﺃ( ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ : 0

x  .

ln x  0

( ) f x  ﻓﻲ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ، ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

)ﺏ( ﻧﻌﻮّﺽ 0

0

1 x e   ﺃﻱ ﺃﻥ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴّﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ x ﻫﻲ 1 0 ( , ) . )ﺝ( ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ x ﻣﻮﺟﺒًﺎ ﻭﻳﻘﺘﺮﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼّﻔﺮ، ﺗﺼﻐﺮ ﻗﻴﻢ y ﺃﻛﺜﺮ ﻓﺄﻛﺜﺮ ﺑﺸﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪﻭﺩٍ، ﻭﻟﺬﺍ ﻓﺈﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘّﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ﻫﻲ 0 x  . )ﺩ( y ( ) f x

x

1

)ﻫـ( ( ) ln( ) g x x   )ﻭ( ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺍِﻧﻌﻜﺎﺳﻲ ﺑﺎﻟﻨّﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻮﺭ y . )ﺯ( ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ x ﺳﺎﻟﺒًﺎ ﻭﻳﻘﺘﺮﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼّﻔﺮ، ﺗﻘﺘﺮﺏ ﻗﻴﻢ y ﺃﻛﺜﺮ ﻓﺄﻛﺜﺮ ﺇﻟﻰ ﻧﺎﻗﺺ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ، ﻭﻟﺬﺍ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﺍﻟﺘّﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ﻫﻲ 0 x  . )ﺡ( ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ( ) f x ﻫﻮ 0 x  . ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ( ) g x ﻫﻮ 0 x  . ﱠﻴﻴْﻦ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ﻟﺬﺍ، ﻟﻴﺲ ﻫﻨﺎﻙ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺮّﺳﻤَﻴْﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧ . )ﻁ(

( ) f x

( ) g x

y

x

1 

1

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ