מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

سلسلةُ أُوليمبوس

وحدات تعليميّة 4 رياضيّات الص ّّف الث ّّاني عشر

الجزء الأوّل

سـريت غورين ʻ جابـي يكوئيـل ʻ داود راتـس ʻ أريـي روكـح ʻ شـاحار زاك ʻ طاقـم "مشبيتسـيت": عـادا ليفـي

כל הזכויות שמורות להוצאת משבצת.

©

חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל ספר זה,

או קטעים ממנו, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני,

אופטי או מכני, לרבות צילום והקלטה, אמצעי אחסון

והפצת מידע, ללא אישור בכתב מאת הוצאת משבצת.

ס פרי מתמטיקה תא דואר: 1441 , קרית טבעון 3601702 טלפון: 44 - 9244828 , פקס: 44 - 9244148 כתובתנו באינטרנט: www.mishbetzet.co.il

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 7 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﺟﺒﺮ وﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻟﻠﺘّﺤﻠﯿﻞ اﻟﺮّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪّوال اﻷﺳّﯿّﺔ واﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﯿّﺔ

ﺍﻟﻔﺼﻞ :1 ﻗﻮﻯ ﻭﺟﺬﻭﺭ

ﺃ . ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ ﻓﻲ ﺍﻷُﺳُﺲ ﺍﻟﻄّﺒﻴﻌﻴّﺔ ﻭﺍﻷُﺳُﺲ ﺍﻟﺼّﺤﻴﺤﺔ

ﺗﺬﻛﻴﺮ : ﻓﻲ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴّﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴّﺔ :

ﺍﻟﻌﻤﻠﻴّﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻤﻠﻴّﺎﺕ ﺍﻟﻘﻮﻯ / ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ . ﻋﻤﻠﻴّﺎﺕ ﺍﻟﻘﻮﻯ / ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻤﻠﻴّﺎﺕ ﺍﻟﻀّﺮﺏ / ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ . ﻋﻤﻠﻴّﺎﺕ ﺍﻟﻀّﺮﺏ / ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻤﻠﻴّﺎﺕ ﺍﻟﺠﻤﻊ / ﺍﻟﻄّﺮﺡ .

ﺳﻨﻘﺪّﻡ ﺗﻌﺮﻳﻔﻴﻦ ﻳﺘﻌﻠّﻘﺎﻥ ﺑﺎﻟﻘﻮﻯ، ﻭﻣﻦ ﺛﻢ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ .

n a a a a      

ّ ﻟﻠﻘﻮ ة n ھﻮ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀّﺮب : 

   ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ a وﻋﺪد طﺒﯿﻌﻲ n ﻧﻌﺮّف : a

 

n ﻣﺮّات

ّة أُس اﻟﻘﻮ .

ّة أﺳﺎس اﻟﻘﻮ ، وﻧﺴﻤّﻲ اﻟﻌﺪد n

ّ ﻧﺴﻤ ﻲ اﻟﻌﺪد a

 

3  ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 8       

  ﻣﺜﺎل:

n  

0 a  وَ

a  ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

1

) 0

0 ﻟﯿﺲ ﻣﻌﺮّﻓًﺎ . (

   ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ

0

1

a

n

a

ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻟﻘﻮى :

b  (

a  وَ 0

) ﻓﻲ اﻟﻘﻮاﻧﯿﻦ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ m وَ n ھﻤﺎ ﻋﺪدان ﺻﺤﯿﺤﺎ ن ، 0







 0

1

1

n



1





a

a

n

a

a



 m n m n a a a  

m



a

m n







 





a

n

a

 n n n a b a b  _ i

a a _ i  

 b b a k  n a a

n

 n m m n





 

n

 n b  a k a k a b a

n

a a  _ i )ﻟﻜﻞّ m ﻭَ n

n m mn

ﱠﻴﻴْﻦ ﻁﺒﻴﻌ .(

ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ، ﻧُﺒﻴّﻦ ﺃﻧّﻪ ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

m _ i _ i a a

 





 

   



  

 

  



n m m m m m m

n      ohngq ohngq ohngq ohngq ﻣﺮّﺍﺕ ﻣﺮّﺍﺕ ﻣﺮّﺍﺕ ﻣﺮّﺍﺕ m m m a a a a ...a (a a...a)(a a...a)...(a a...a)

ohngq ﻣﺮّﺍﺕ

n

a a ...    



n

m n

a

a

ohn  gq ﻣﺮّﺍﺕ m n 

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 8 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

أﻣﺜﻠﺔ

4 2 2 2 2 2 16 ( )      

4 2 2 2 2 2 16 () ()()()()   





22       1 ( ) 1 1 ( ) ( )

( )    

11       1 ( ) ( ) ( )

1 1    





1 1  ( )

1 1

22  ohngq ﻣﺮّﺓ

ﻣﺮّﺓ

11

2   

3 2 1 8 1 8 ( ) ( ) ( ) ( )         5

2 1 1 9 3





3

2     _ i _ i 2 1 1 4 2 1 1 1 2



3      3 1 1 1 8 8 2 ( ) 2 ( ) 





4



3 ) ( ( ) ( ) a b a b a ab a k a k 5 2 9 3 3 (  2 4 5 2 3 a b b a 

)

2

 



8 6

15 6 16 12 a b a b a b b 31 18

3











a,b

(

)

0

a a b  

a

5

27 5 15

32 15

a b

4

6 16 a b b 15 8 b a a 

 





a,b

(

)

0

2







ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬّﺍﺗﻲ

ﺍِﺣﺴﺒﻮﺍ ﺩﻭﻥ ﺍِﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ . (1) )ﺃ(   6 2  

 

6 2  

8 1  

)ﺝ(

)ﺏ(

  

3  

  2 2

8 1  

)ﻭ(

)ﻫـ(

)ﺩ(

2

3  

0 0.5 ( )  

0 5  

)ﻁ(

)ﺡ(

)ﺯ(

0.5 ( )

a,b  :(

(2) ﺑﺴّﻄﻮﺍ ﺍﻟﺘّﻌﺎﺑﻴﺮ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ ) 0

3 ) a b ab a b  ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b       2 4 5 6 ( ( 5 2 3 4 3 2

3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a     5 5 8 2 3 8 7 4

4 2 9 10 ( ) ( ) ( ) a a a a a    10

6 ) ( ) 4

3

2

10 3







)ﺝ(

)ﺏ(

)ﺃ(

2

3

3 ) ( ( ) ( ) a b a b a ab   5 2 20 2 2

3 ) ( a b a b a b a b   7 2 5 ) ( 4 3

(

)

(

)

3

5

2

7 3

5 8







)ﻭ(

)ﻫـ(

)ﺩ(

4

10

2

(

)

5 4

أﺟﻮﺑﺔ ﻧﮫﺎﺋﯿّﺔ

 1

 64

1

1

)ﻭ(

)ﻫـ(

)ﺩ(

)ﺝ( 1

)ﺏ(

(1) )ﺃ( 64

8

4

)ﺯ(  1

)ﻁ( 8

)ﺡ( 1

2

3

)ﻭ(

)ﻫـ( b

)ﺩ(

)ﺝ( a

)ﺏ( 1

(2) )ﺃ(

a

a

a

b

b

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 9 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﱡُﺱ ﻗﻮّﺓ ﺃ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻧﺼﻒ

ﺏ . ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّﺮﺑﻴﻌﻲّ،

ﺍﻟﻌﻤﻠﻴّ ﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴّ ﺔ ﻟﻠﺮّ ﻓﻊ ﻟﻠﻘﻮﺓ ﺍﻟﺜّ ﺎﻧﻴﺔ ﺗُﺴﻤّﻰ ِ ﺍ ﺳﺘﺨﺮﺍﺝ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ . ﻧُ ﻌﺮّﻑ ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّﺮﺑﻴﻌﻲ ) ﺟﺬﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪّﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜّﺎﻧﻴﺔ :(

ٍ ﺳﺎﻟﺐ ﻣﻌﯿّﻦ ، ھﻮ ﻋﺪدٌ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺐ، إذا ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺮﻓﻌﻪ ّ ﻟﻠﻘﻮ ة اﻟﺜّ ﺎﻧﯿﺔ ) أي ﱠ ﻌﻨﺎه رَﺑ ( ،

اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ ﻟﻌﺪد ﻏﯿﺮ

ﻧﺤﺼﻞ ﻣﻦ ﺟﺪﻳﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤُﻌﻄﻰ .

ﱠﻤﻰ أﻳﻀًﺎ ﻳُﺴ ﺟﺬرًا ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟﺜّﺎﻧﯿﺔ 

اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ

  ﻧﺮﻣﺰ إﻟﻰ اﻟﺠﺬر اﻟﺘّﺮﺑﯿﻌﻲ ﺑﺎﻹﺷﺎرة اﻟﺘّﺎﻟﯿﺔ : 

 

0 a b   , 

2 b a   

  ﺑﺎﻷﺣﺮف ، ﻧﻜﺘﺐ : 

a b



0

  ﻓﻲ ﻣﺜﻞ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ، ﻧﻘﻮل، إن b ھﻮ اﻟﺠﺬر اﻟﺘّﺮﺑﯿﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪد a .

2 ( a) a  .

ﻣﻼﺣﻈﺔ : ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ ﻧﺤﺼﻞ ﺃﻧّ ﻪ ﻟﻜﻞّ ﻋﺪﺩ ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ a ، ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

ﻣﺜﺎل: 25 5 

ﺃﻱ : " ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ 25 ﻫﻮ ." 5 ﺷﺮﺡ : ﺇﺫﺍ ﺭﻓﻌﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ 5 ﻟﻠﻘ ﻮّﺓ ، 2 ﺳﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ) ، 25

2 5 25  .(

ﻟﻘﺪ ﺻﺎﺩﻓﻨﺎ ﻋﻤﻠﻴّ ﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲ ﻣﺮّ ﺍﺕٍ ﻋﺪﻳﺪﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺎﺿﻲ، ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕٍ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴّ ﺔ. ﻧُﺆﻛّﺪ ﺃﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘّ ﻌﺒﻴﺮ 9 ) ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ( ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ، 3 : ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻓﻲ ﺣ ﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : 2 9 x  ) ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﻠّﻴﻦ : 9 3 x     .

4 a a  _ i .( 2

8 a  ) ﻭﻳﺘﺤﻘّﻖ

4 a  ﻭﺃﻳﻀًﺎ

4 8 a a  ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻟﻜﻞ a ﺣﻘﻴﻘﻲّ ﻷﻥّ

8

ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ :

اِﻧﺘﺒﮫﻮا:

0

0

2 a a  ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻓﻘﻂ ﻟﻜﻞ a ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ )ﻟﻜﻞّ 0

a  ،(

ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

2 a a  .

a  ) a ﺳﺎﻟﺐ( ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

ﻭﻟﻜﻞّ 0

2 ( ) ( )     7

ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ :

.

7 7

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 10 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﻗﻮﺍﻋﺪ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺟﺬﻭﺭ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴّﺔ

ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪﺩﻳّﺔ

_ i

1 _ i _ i a



3 3   100 10 1,000



n



3

n a a

a

n

100

(

,

)

0

ﺻﺤﻴﺢ

4 _ i

a _ i







3   1



n  





1

n

1

3



3

4 _ i

n a a

n

(

,

)

4

0

ﺻﺤﻴﺢ

n

a

3

4

 

  

ab a b  







0 a b

(

,

)

4 9 4 9 2 3 6

0

a a b b 

9  

9

3





0 a b

(

,

)

0

64

8

64

ﻳ ﻤﻜﻦ ﺃﻳﻀًﺎ ﺍﻟﺘّ ﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﻮﻯ . ﻛﻘﺎﻋﺪﺓ ﻋﺎﻣﺔ، ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺭﺍﺟﻌﻨﺎ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ، ﻗﻴﱠ ﺪﻧﺎ ﺍﻟﻨّ ﻘﺎﺵ ﻟﻸُ ﺳُ ﺲِ ﺍﻟﺼّ ﺤﻴﺤﺔ ﻓﻘﻂ ) ﻣﻮﺟﺒﺔ، ﺳﺎﻟﺒﺔ ﺃﻭ ﺻﻔﺮ(، ﻟﻜﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻮﺍﻗﻊ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ ﺍﻟّ ﺘﻲ ﺗﻌﻠ ﻤﻨﺎﻫﺎ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻷﻱّ ﺃُﺱٍّ ﺣﻘﻴﻘﻲٍّ ) ﻭﺳﻨﻮﺳّ ﻊ ﺍﻟﻨّ ﻘﺎﺵ ﺑﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ ﻻﺣﻘًﺎ(. ﻭﻣﻊ ﺫﻟﻚ، ﻣﻦ ﺍﻟﻤُ ﺮﻳﺢ ﺟﺪ \ﺍ ، ﺍﻟﺘّ ﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﻮﻯ ) ﻭﺳﻴﺘّ ﻀﺢ ﺫﻟﻚ ﺑﺸﻜﻞ ﺧﺎﺹٍّ ﻓﻲ ﺇﻁﺎﺭ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘّ ﻔﺎﺿﻞ ﻭﺍﻟﺘّ ﻜﺎﻣﻞ(. ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ، ﺳﻨﺮﻯ ﻣﺜﺎﻻ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴّ ﺔ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﻮﻯ .

1 2 9 81 ( )       _ i ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻌﺪﺩ ﻣﻌﻴّﻦ ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﻌﻴّﻦ ﻣﺮﻓﻮﻋًﺎ ﻟﻠﻘﻮّﺓ ﻧﺼﻒ . 1 2 1 2 2 1 2 81 9 9 9

ﻣﺜﺎﻝ ﻋﺪﺩﻱ

ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺟﺬﻭﺭ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴّﺔ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﻗﻮّﺓ ﻧﺼﻒ

0.5    0.5 1

0.5    0.5 1

 

(

)

25 25

0

a a

a





1

1

0.5

0.5

(

)

16

0

a

a

a a

1 6

1 6

n

6 2

1   

2     0.5 n 1 a a a n 1



0.5

3

n

6

(

,

)

3 3 3

0

ﺻﺤﻴﺢ

a

n



10  

1



0.5

2.5

n

(

,

)

0

ﺻﺤﻴﺢ

a

a

n

5 2

5

a

n

1 0

a

1 0

أﻣﺜﻠﺔ

ﻛﻤﺎ ﺫُﻛﺮ، ﻓﺈﻥّ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ ﺍﻟّ ﺘﻲ ﺻ ﻐﻨﺎﻫﺎ ﻟﻸُ ﺳﺲ ﺍﻟﺼّ ﺤﻴﺤﺔ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﺃﻳﻀًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷُ ﺳُ ﺲِ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴّ ﺔ ﻋﻤﻮﻣًﺎ، ﻭﺧﺎﺻّ ﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻷﺳﺎﺱ ﻣﺴﺎﻭﻳً ﺎ ﻟﻨﺼﻒ. ﻫﻜﺬﺍ ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻳﺘﺤﻘّﻖ : ﻟﻜﻞ 0 x  : 0 .5 7 3.5 3 0.5 3 7 x x x x x x x       ●

0.5 3      1.5 1 x

 



x  :

1

1 1 1 1 1

1

ﻭ ﻟﻜﻞ 0

●

0.5

x x x x

3

x

x

x

x

x  :

ﻭ ﻟﻜﻞ 0

7   2

6      2 3









2

3

3

3

3

4

5

3

3

2

3

2

5

x x

x x x x

xx xxx xx xx xx xx

●

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 11 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠ ﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬّﺍﺗﻲ

ﺍِﺳﺘﻌﻴﻨﻮﺍ ﺑﻘﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ ﻭﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟّﺘﻲ ﺗﻈﻬﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺼّﻔﺤﺔ ﺍﻟﺴّﺎﺑ ﻘﺔ، ﻭﺑﺮﻫﻨﻮﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻓﻲ ﻛﻞّ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺘّﻤﺎﺭﻳﻦ (6) – (1) ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ، ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ 0 x  .

2 5 x x x 

3 x x x 

(2)

(1)

3 5 x x x x 

4 9 x x x 

(4)

(3)

4 2 2 x x x x  7

2 2 3 x x x x x   3 5

(6)

(5)







ﺝ . ﺟﺬﻭﺭ ﻣﻦ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻋﺎﻟﻴّﺔ ﺑﺸﻜﻞ ﻣ ﺸﺎﺑﻪٍ ﻟﻠﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ ) ﺃﻱ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪّ ﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜّ ﺎﻧﻴﺔ ،( ﻳﺘﻢّ ﺃﻳﻀًﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪّ ﺭﺟﺔ .n ﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺟﺬور ﻣﻦ درﺟﺔ أﻳ  n  

ﻣﻌﻄﻰ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿّﺎن a وَ b ، وﻣﻌﻄﻰ اﻟﻌﺪد n

ﱞﻲ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ طﺒﯿﻌ . 1

n b a 

n b a 

b ﱠﻤﻰ ﺟﺬرًا ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ ﻳُﺴ n ﻟﻠﻌﺪد a ، إذا ﺗﺤﻘّﻖ أن

، وﻧﺮﻣﺰ ﺑﺎﻹﺷﺎرات اﻟﺮّﻳﺎﺿﯿّﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻨّﺤﻮ ا ﻟﺘّﺎﻟﻲ

ﻧُﻤﯿِّﺰ ﺑﯿﻦ ﺣﺎﻟﺘَﯿْﻦ :   ِ ﺑﺎﻟﻨّﺴﺒﺔ ﻟـ n زوﺟﻲّ، ﻧﻌﺮّف اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ n

a  .  أﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪدﻳّﺔ :

ّ ﻓﻘﻂ ﻟﻜﻞ 0

4 16 2  2 ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 4 ﻟﻠﻌﺪد 16 ) ﻷنّ 729 3  3 ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 6 ﻟﻠﻌﺪد ) 729 ﻷنّ 6

n b a 

b  ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

ّ ﻟﻜﻞ 0

.

4 2 16  . (

6 3 729  . (

ﻏﯿﺮ زوﺟﻲّ،

ِ ﺑﺎﻟﻨّﺴﺒﺔ ﻟـ n

أﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪدﻳّﺔ : 

ّ ﻟﻜﻞ a ﺣﻘﯿﻘﻲّ . 

ُ ﻧ ﻌﺮّف اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ n

3 64 4  أي أن اﻟﻌﺪد 4 ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 3 ﻟﻠﻌﺪد 64 ، ) ﻷنّ 125 5   5  ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 3 ﻟﻠﻌﺪد 125  ، ﻷنّ 125 3

n b a 

اﻟﻤﺴﺎو ا ة :

3 4 64  (

ّ ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﻟﻜﻞ b ﺣﻘﯿﻘﻲٍّ .

3 ( )   . 5

ﺍِﺳﺘﻨﺎﺩًﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘّﻌﺮﻳﻒ ﺃﻋﻼﻩ : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ n ﻋﺪﺩًﺍ ﻓﺮﺩﻳ\ﺎ، ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ :

 n a a _ i ﻟﻜﻞّ a ﺣﻘﻴﻘﻲٍّ . n a a _ i ﻓﻘﻂ ﻟﻜﻞ 0 a  . n  n

ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ n ﻋﺪﺩًﺍ ﺯﻭﺟﻴ\ﺎ، ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ :

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 12 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﻼّﺯﻣﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺟﺬﻭﺭ ﻣﻦ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻋﺎﻟﻴﺔ ﻣﺸﺎﺑﻬﺔ ﻟﻠﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﻼّﺯﻣﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟ ﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻴّﺔ ﺍﻟّﺘﻲ ﺗﻌﻠّﻤﻨﺎﻫﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ﺍﻟﺴّﺎﺑﻖ .

ﻗﻮاﻋﺪ ﻟﺤﺴﺎب ﺟﺬور

ﻧُﺬ ﻛّﺮﻛﻢ : ﺟﺬر ﻣﻦ درﺟﺔ زوﺟﯿّﺔ ﻣﻌﺮّفٌ ﻓﻘﻂ ﻟﻸﻋﺪاد ﻏﯿﺮ اﻟﺴّﺎﻟﺒﺔ .   ن ﻗﺎﻋﺪﺗﺎ ِ ﻟـ  n  زوﺟﻲّ وﻣﻮﺟﺐ : 

n   : 

ن ﻗﺎﻋﺪﺗﺎ ِ ﻟـ  n  ﻓﺮديّ وﻣﻮﺟﺐ  1

n n ab a b  

 





n

n

n n ab a b a b 0

(

,

)

0

n

n n b b a a 





n a a





b

0 a b

n

(

)

(

,

)

0

0

n b b

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ : ﺣﺴﺎب ﺟﺬور ﻣﻦ درﺟﺔ ﻋﺎﻟﯿﺔ

3 ( )   . 3

3 2 8  .

27 3  

3 8 2  ﻷﻥّ :

ﻷﻥّ :

3

27

(2)

(1)

7 7 8 16 2 2 2 2 2 2        . 7 7 7 7 7 3 4 3 4

4 3 81  . (4)

7 7 8 16 2   ﻷﻥّ :

4 81 3  ﻷﻥّ :

(3)

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ : ﺗﺒﺴﯿﻂ ﺗﻌﺎﺑﯿﺮ ﺟﺒﺮﻳّﺔ ﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﺟﺬور ﻣﻦ درﺟﺔ ﻋﺎﻟﯿﺔ

3 3 a a a a a a a a        3 3 6 3 3 3

3

2

(5)

4 a aaa (a) (a) (a) aaa a           2 2 2 4 4 4 2 4 8 8 8 2 4 2 4 2 4

6

4

(6)

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ : ﺣ ﺴﺎب ﺟﺬور ﻣﻦ درﺟﺔ ﻋﺎﻟﯿﺔ ﻟﺤﻞ ﻣﻌﺎدﻻت

3 x    . 3

3 x  ﻫﻮ

(7) ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ

3 8 2 2

8

4   _ i _ i 4 4 81 3 



4 x  ﻫﻮ





(8) ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ

.

3

81

x

ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍ ﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺟﺬﻭﺭ ﻣﻦ ﺩﺭﺟﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ، ﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ﻟﻴﺴﺖ ﺃﻋﺪﺍﺩًﺍ ﻧﺴﺒﻴّﺔ . ﺇﺫﺍ ﺃُﻋﻄِﻲ ﺃﻥ : b a z  ) ﻋﺪﺍ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟّﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ 0 a  ﻭَ 0 b  ، ( ﻳﺘﺤﻘّﻖ : b a z  ) b ﻫﻮ ﺟﺬﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪّﺭﺟﺔ z ﻟـِ a ،( ﻭﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ، ﺳﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺪﺩﻳّﺔ ﻣُﻘﺮّﺑﺔ. ﻓﻲ ﺑﻌﺾ ﺍﻵﻻﺕ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﻀﻐﻂ:     SHIFT = z x a 

    SHIFT ^ = z a

ﻭﻓﻲ ﺁﻻﺕ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻧﻀﻐﻂ:



) ﺃﻭ SHIFT ﻭَ ^ ( ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻀّﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣِﻔﺘﺎﺡ ﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ z ،

ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣِﻔﺘﺎﺣَ ﻲ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ : SHIFT ﻭَ

x

z

ﻳﺆﺩّﻱ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ

.

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 13 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ : اِﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻟﺤﻞ ﻣﻌﺎدﻻت

5 x  ﻫﻮ

x  .

(9) ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ

5

10

10

5 10 ، ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨّﺤﻮ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻲ :     5 SHIFT 10 = x 

ﻛﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ

ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸّﺎﺷﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ : ،1.584893192 ﻭﻟﺬﺍ ﻓﺈﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ : 1.585 x  .

6 x  ﻫﻮ

x   .

(10) ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ

6

30

30

ﻛﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺪﺩﻳّﺔ ﻣﻘﺮّﺑﺔ ﻟﻠﺠﺬﺭ

، ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨّﺤﻮ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻲ :

6

30

    6 SHIFT 30 = x 

ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸّﺎﺷﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ : ،1.762734383 ﻭﻟﺬﺍ ﻓﺈﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ : 1.763 x   .







ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬّﺍﺗﻲ ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ (8) – (1) ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ ) ﺍِﺳﺘﻌﻴﻨﻮﺍ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺤﺎﺟﺔ .(

4 x 

4 x 

3 x 

3 x 

625

(4)

625

(3)

64

(2)

64

(1)

4 x 

3 x 

5 x 

7 x 

18

(8)

10

(7)

32

(6)

1

(5)

أﺟﻮﺑﺔ ﻧﮫﺎﺋﯿّﺔ

 

x  x 

x 

(3) 5

(2) 4

(1)

4

x

x 

ﱞﻲ ﱞﻞ ﺣﻘﻴﻘ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣ .

(5) 1

(4)

(6) 2

4    

3 x  

10 2.154

(8)

(7)

18 2.06

x

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 14 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﱞﻲ ﱡُﺱ ﻗﻮّﺓ ﻧﺴﺒ ﺃ

ﺩ .

n a   _ i n m

m

m

n a a

اﻟﺼّﯿﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣّﺔ :

1 n n a a 

m  :

ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻّﺔ ﻋﻨﺪ ﻣﺎ ﻳﻜﻮن 1

a  .

ﻓﻲ اﻟﺼّﯿﻐﺘَﯿْﻦ أﻋﻼه : m ھﻮ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ، n

ﱞﻲ ھﻮ ﻋﺪد طﺒﯿﻌ ﻻ ﻳﺴﺎوي 1 ، 0

ﱡُﺳﮫﺎ ﻋﺪد أ ﻧﺴﺒ ﱞﻲ ،

ﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬورٌ ﻣﻦ درﺟﺔ ﻓﺮدﻳّﺔ ﻟﻸﻋﺪاد اﻟﺴّﺎﻟﺒﺔ أﻳﻀًﺎ، وﻟﻜﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺑﺼﻮرة ﻗﻮ ة

اِﻧﺘﺒﮫﻮا :

a  .

ﻣﻌﺮّﻓﺔ ﻓﻘﻂ ّ ﻟﻜﻞ 0

ﻣﻌﺮّف ﻟﻜﻞ x ﺣﻘﯿﻘﻲّ، ﺑﯿﻨﻤﺎ اﻟﺘّﻌﺒﯿﺮ 1

x 

3

3 x ﻣﻌﺮّف ﻓﻘﻂ ﻟﻜﻞ 0

ﻣﺜﺎل: اﻟﺘّﻌﺒﯿﺮ

x

.

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

1 3

(1) ﻧﺤﺴﺐ ﺑﻄﺮﻳﻘﺘَﻴْﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘَﻴْﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ 1 3 8 :

3 8 8 2  

) i (

1 2 2 2      _ i 9 3 27    _ i      _ i 1 3 3 3 3 1 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3

1

) ii (

3 8 2

(2) ﻧﺤﺴﺐ ﺑﺄﺭﺑﻊ ﻁﺮﻕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ 3 2 9 :

3 2

ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ :

) i (

9

3 2

2 3 9 9 729 27   

) ii ( ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ :

3

) iii ( ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ :

2

9 3

3 3 27

1 2 3 3 9 9 3 27    _ i 3 2

) iv ( ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ :

(3) ﻧﺤﺴﺐ ﺑﺄﺭﺑﻊ ﻁﺮﻕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ 2 3 8  . اﻟﺤﻞّ:

2     _ i 3 2 1 1 4 2 3 2 2 2  

2 8      _ i 8      2 3 3 2 3 2 1 1 4 2 3 1 1 8 2 2 3 1 1 1 1 4 64 3 3 2



2

) ii (

) i (

3

8

2 3 8      1 1

2 1 1 4 2

) iv (

) iii (

3 ( ) 8

2 3

2 3

2

8

8

8

ﻣﻼﺣﻈﺔ: ﻷﺟﻞ ﺣﺴﺎﺏ ﻗﻮﻯ ﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺃُﺳُﺲ ﻧﺴﺒﻴّﺔ، ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺃﻳﻀًﺎ . ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ، ﻛﻲ ﻧﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ 2 3 8

 ، ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﻀّﻐﻂ ﻓﻲ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨّﺤﻮ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻲ :

2 3         ( – ) = x  

8

2 3 8          ( – ) = x 

ﺃﻭ ﺑﺂﻻﺕ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺃﺧﺮﻯ :

ﺑﻬﺪﻩ ﺍﻟﻄّﺮﻳﻘﺔ، ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﺟﺬﻭﺭ ﻣﻦ ﺃﻱ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﺎ ﻧﺖ.

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 15 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

2 3

3 8  

.

(4) ﺍِﺣﺴﺒﻮﺍ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ

27

اﻟﺤﻞّ:

2 2 27 3 3 9    _ i 3 8 2   2 3 3 3

ﺑﺪﺍﻳﺔً، ﻧﺤﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮَﻳْﻦ ﻋﻠﻰ ﺣﺪﺓ :

2 3

3 8 9 2 ( )       11

ﺑﻌﺪ ﺃﻥ ﺣﺴﺒﻨﺎ، ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ:

27

2 3

4 x  ) ﻧُﺬﻛّﺮﻛﻢ: ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳﺾ ﻫﻮ 0

x  .(

(5) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ

اﻟﺤﻞّ:

3 x  _ i 3 2 2 2 3

3

ﻧﺮﻓﻊ ﺍﻟﻄّﺮﻓَﻴْﻦ ﻟﻠﻘﻮّﺓ 3 2

ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

2 4

2 _ i 2





3

3



2     2 1 3 2 2 x

8  x

3

2

2

x







ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬّﺍﺗﻲ ﺍِﺣﺴﺒﻮﺍ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺘّﻌﺎﺑﻴﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺘّﻤﺮﻳﻨَﻴْﻦ (2) – (1) ) ﺍِﺣﺴﺒﻮﺍ ﺩﻭﻥ ﺍ ﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ .(



1 3 27

1 2

1 2 16

)ﺝ(

)ﺏ(

(1) )ﺃ(

16

 

9  

1 2

1 2

1 2 4 

)ﻭ(

)ﻫـ(

)ﺩ(

9 ( )

1 8  _ i



2 3

2 3 64

4 3



3 2





) ﺩ(

)ﺝ(

)ﺏ(

(2) )ﺃ(

27

0.01

x  . (

(3) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ ) 0

2 3  

2 3  

2 3

1 3

x 

x 

1 9

)ﺩ(

)ﺝ(

)ﺏ(

)ﺃ(

4

25

2

x

x

أﺟﻮﺑﺔ ﻧﮫﺎﺋﯿّﺔ

1 3 

2 

1 4

)ﻭ( ﻻ ﻣﻌﻨﻰ ﻟﻪ .

)ﻫـ(

)ﺩ(

)ﺝ( 3

)ﺏ(

(1) )ﺃ(

4

)ﺏ( 1 9

)ﺩ( 1,000

)ﺝ(

(2) )ﺃ( 16

1 6

x 

x 

x 

x  )ﺏ(

1 8

)ﺩ(

) ﺝ(

(3) )ﺃ(

2 7

1 25

8

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ

ﺟﺒﺮ ﻭﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻟﻠﺘّﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﺮّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻴّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

- 16 -

ﺍﻟﻔﺼﻞ :2 ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ

ﺍﻟﻔﺻﻝ 2 : ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻳّﺔ

ﺃ . ﺍﻟﻮﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ x

a = y

a 

a  ،

x y ، ﺑﺣﻳﺙ ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻘﻭّﺓ a ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺛﺎﺑﺕ ﻣﻭﺟﺏ ﻻ ﻳﺳﺎﻭﻱ 1 ، ﺃﻱ : 0

ﺍﻟﺷّﻛﻝ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻳّﺔ ﻫﻭ :

1 a  . ﺑﻣﺎ ﺃﻥ x ﻫﻭ

ﱡُﺱ ﺍﻟﻘﻭّﺓ ﺃ ، ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺗُﺳﻣّﻰ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻳّﺔ .

ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻣﻌﺭّﻓﺔ ﻟﻛﻝ x . ﺍِﻧﺗﺑﻬﻭﺍ : ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ a  x

y ﺗُﻌﻣِّﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ، ﻣﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻘﻭّ ﺓ ﻟﻳﺷﻣﻝ ﻛﻝّ ﺃﺱٍّ ﺣﻘﻳﻘﻲٍّ . ﺃﻱ ، ﻳﻣﻛﻧﻧﺎ ﺗﻌﺭﻳﻑ ﻗﻭّﺓ ﺫﺍﺕ ﺃُﺱ ﺃﻳ/ ﺎ ﻛﺎﻥ ﻭﻟﻳﺱ ﻓﻘﻁ ﻧﺳﺑﻳ/ﺎ. ﺑﻛﻼﻡ ﺁﺧﺭ ﻳﻣﻛﻥ ﻟﻸﺱ ﺃﻥ ﻳﻛﻭﻥ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺣﻘﻳﻘﻲ . ﻣﻼﺣﻅﺎﺕ : ) 1 ( ﺍﻟﺗّ ﻌﺭﻳﻑ ﺍﻟﻣﺫﻛﻭﺭ ﺃﻋﻼﻩ ﻫﻭ ﺧﺎﺭﺝ ﻧﻁﺎﻕ ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺗّ ﻌﻠﻳﻣ ﻲّ . ) 2 ( ﻳﻣﻛﻥ ﺍﻻﺳﺗﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍﻟﺣﺎﺳﺑﺔ ﻭﺣﺳﺎﺏ ﻗﻭّﺓ ﺫﺍﺕ ﺃُﺱ ﻫﻭ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻛﺎﻥ ) ﱞﻲ ﻟﻳﺱ ﻧﺳﺑﻳ/ ﺑﻣﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﻋﺩﺩ ﺣﻘﻳﻘ ﺎ(، ﻋﻠﻰ ﺳﺑﻳﻝ ﺍﻟﻣﺛﺎﻝ : 3 2 3.321997085  ، 5 3 0.085728345  

0 a   .

a  ﻭﺑﻳﻥ ﺍﻟﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟّﺗﻲ ﻓﻳﻬﺎ

ﻧﻣﻳّﺯ ﺑﻳﻥ ﺍﻟﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟّﺗﻲ ﻓﻳﻬﺎ 1

1

ﺑﺎﻟﻧّﺳﺑﺔ ﻟﻠﺣﺎﻟﺔ 1 a  : ﻧﺭﺳﻡ ﻓﻲ ﻫﻳﺋﺔ ﻣﺣﺎﻭﺭ ﻭﺍﺣﺩﺓ ﺍﻟﺭّﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳّﺔ ﻟﺛﻼﺙ ﺩﻭﺍﻝ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ : ﻧﺳﺗﻌﻳﻥ ﺑﺟﺩﻭﻝ ﻗﻳﻡ ﻭﻧﺣﺻﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭّﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳّﺔ ﺍﻟﺗّﺎﻟﻳﺔ :

y 

y 

y 

) ﺝ (

) ﺏ ( 3 x

) ﺃ (

x

x

5

2

) ﺝ (

) ﺏ (

) ﺃ (

y

ب ( )

ج ( )

أ ( )

y 

y 

y 

x

x

x

5

x

5

3

2

3  2  1 

1 1 25

1 27

1 8

4

1 4 1 2

1 25

1 9

3

1 5

1 3

2

1

1

1

0

1

5

3

2

1

25

9

4

2

x

3 

2 

1 

1

2

ﺗﻮﺿﻴﺢ ُ ﻣ ﺤﻮﺳﺐ : ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻦ ﺩﻭﺍﻝّ ﺃُﺳّﻴّﺔ ﺫﻭﺍﺕ ﺃﺳﺎﺱٍ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ 1 ﺍُﺩﺧﻠﻭﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻣﻭﻗﻊ www.mishbetzet.co.il  4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ  ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ  ﻓﻌّﺎﻟﻳﺎﺕ ﻣﺣﻭﺳﺑﺔ ﺗﺗﺑﻊ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻛﺗﺎﺏ  ﺍِﺿﻐﻁﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭّﺍﺑﻁ ﺍﻟﻣﻧﺎﺳﺏ ﻻﺳﻡ ﻋﻧﻭﺍﻥ ﺇﻁﺎﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻌّﺎﻟﻳّﺔ . ﺃﻣﺎﻣﻛﻡ ﺍﻟﺭّﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳّﺔ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ : ) ﺃ ( 2 x y  ) ﺏ ( 3 x y  ) ﺝ ( 5 x y  ﻣـن ﺧــــﻼل ﺗﻣـــــﺮﻳﺮ ﻋﺟﻠـــﺔ اﻟﻔ ــــــــﺄرة ﻳﻣﻛﻧﻛـــــــم اﻟــــــت ﻛﺑـــــﻴﺮ ﻟﺮؤﻳــــــﺔ اﻟـــــــﺮ ﺳــوم اﻟﺑﻴـــــــــــــﺎﻧﻲ ة ال ﻣﺮﺳــــوﻣﺔ واﻟﻌﺜ ــــــــور ﻋﻠــﻰ ﻧﻘـــــﺎط إﺿـــــــﺎﻓﻲ ة ﻋﻠﻴﮫ ــــــﺎ ، وﻛـــــذﻟك ﺗﺣﺮﻳــــك ﻟوﺣــــﺔ ﺍُ ﻧﻅﺭﻭﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺭّ ﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳﺔ، ﻭﻟﻛﻝّ ﺩﺍﻟّ ﺔ ﻣﻥ ﺍﻟﺩّ ﻭﺍﻝّ ﻭﺍﻛﺗﺑﻭﺍ ﺧﺻﺎﺋﺹ ﺍﻟﺭّ ﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲّ ﺍﻟّ ﺫﻱ ﻳﺻﻔﻬﺎ ﻭﻓﻘًﺎ ﻟﻠﺗّ ﻌﻠﻳﻣﺎﺕ ﺍﻟﺗﺎّ ﻟﻳﺔ : 1 . ﻣﺎ ﻫﻭ ﻣﺟﺎﻝ ﺗﻌﺭﻳﻑ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ؟ ﻛﻳﻑ ﻳﻧﻌﻛﺱ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﺭّ ﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲّ ؟ 2 . ﻓﻲ ﺃ ﻱ ﺍﻷﺭﺑﺎﻉ ﻳﻣﺭ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ، ﻭﻣﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻣﺟﺎﻝ ﺍﻟّﺫﻱ ﻓﻳﻪ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟّﺗﻲ ﻳﺻﻔﻬﺎ ﻣﻭﺟﺑﺔ / ﺳﺎﻟﺑﺔ ؟ 3 . ﻛﻳﻑ ﻳﺗﺻﺭّﻑ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ، ﻛﻠّﻣﺎ ﻛﺑُﺭَﺕ ﺍﻟﻘﻳﻡ ﺍﻟﻣﻁﻠﻘﺔ ﻟـ x ﻋﻠﻰ ﻳﻣﻳﻥ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ y ؟ اﻟـــــــﺮ ﺳـم ﻟﻔﺣـص ﺳـــﻠوك اﻟـــــــﺮ ﺳــوم اﻟﺑﻴـــــــــــــﺎﻧﻲ ة ﻓــﻲ اﻷﺟــــــــﺰاء الّ ﺗــﻲ ﻻ ﺗظﮫـــﺮ ﻓــﻲ اﻟـــــــﺮ ﺳـم ﻓــﻲ ھـــذه اﻟــــصّ ﻓﺣـــﺔ .

ﻳﺘﺒﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﺼّﻔﺤﺔ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ 

© ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻘﻮﻕ ﻣﺤﻔﻮﻅﺔ ﻟﺠﺎﺑﻲ ﻳﻜﻮﺋﻴﻞ –

– ﺭﻳﺎﺿﻴّﺎﺕ ﻟﻄﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴّﺔ – ﺍﻟﺼّﻒ ﺍﻟﺜّﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ – ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪ

ﺟﺒﺮ ﻭﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻟﻠﺘّﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﺮّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻴّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

- 17 -

ﺍﻟﻔﺼﻞ :2 ﺍﻟﺪّﺍﻟّ ﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ

ﻳﺘﺒﻊ – ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﺤﻮﺳﺐ : ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻦ ﺩﻭﺍﻝّ ﺃُﺳّﻴّﺔ ﺫﻭﺍﺕ ﺃﺳﺎﺱٍ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ 1 4 . ﻛﻳﻑ ﻳﺗﺻﺭّﻑ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ، ﻛﻠّﻣﺎ ﻛﺑُﺭَﺕ ﺍﻟﻘﻳﻡ ﺍﻟﻣﻁﻠﻘﺔ ﻟـ x ﻋﻠﻰ ﻳﺳﺎﺭ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ y ؟ 5 . ﺃ . ﺇ ﻟﻰ ﺃﻱّ ﻗﻳﻣﺔ ﺗﻘﺗﺭﺏ ﺍﻟﺩّ ﺍﻟّ ﺔ ﻋﻧﺩﻣﺎ ﺗﺯﺩﺍﺩ ﻗﻳﻣﺔ x ﺑﻼ ﺣﺩﻭﺩٍ ) ﺗﻘﺗﺭﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻼّ ﻧﻬﺎﻳﺔ ؟ ( ﺏ . ﺇﻟﻰ ﺃﻱّ ﻗﻳﻣﺔ ﺗﻘﺗﺭﺏ ﺍﻟﺩّ ﺍﻟّ ﺔ ﻋﻧﺩﻣﺎ ﺗﺻﻐﺭ ﻗﻳﻣﺔ x ﺑﻼ ﺣﺩﻭﺩٍ ) ﺗﻘﺗﺭﺏ ﺇﻟﻰ ﻧﺎﻗﺹ ﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ؟ ( ﺝ . ﱡ ﻁ ﻫﻝ ﻳﻭﺟﺩ ﺧ 6 . ﻣﺎ ﻫﻲ ﺇﺣﺩﺍﺛﻳﺎﺕ ﻧﻘﻁﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ y ؟ 7 . ﺃﻱ ﻭﺍﺣﺩ ﻣﻥ ﺍﻟﺭّﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳ ﺔ ﺍﻟﺛّﻼﺛﺔ ﻳﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺭّﺳﻣَﻳْﻥ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳﱠﻳْﻥ ﺍﻵﺧﺭَﻳْﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻣﺟﺎﻝ 0 x  ؟ 8 . ﺃﻱ ﻭﺍﺣﺩ ﻣﻥ ﺍﻟﺭّﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳ ﺔ ﺍﻟﺛّ ﻼﺛﺔ ﻳﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺭّﺳﻣَﻳْﻥ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳﱠﻳْﻥ ﺍﻵﺧﺭَﻳْﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻣﺟﺎﻝ 0 x  ؟

ﱞﻱ ﻷﺣﺩ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭَﻳْﻥ ﺗﻘﺎﺭﺏ ﻋﻣﻭﺩ ) ﺃُﻓﻘﻲ ﺃﻭ ﻋﻣﻭﺩﻱ ؟ ( ﺇﺫﺍ ﺃﺟﺑﺗﻡ ﻧﻌﻡ، ﻣﺎ ﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩ ﻟ ﺗﻪ ؟

ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﺤﻮﺳﺐ : ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣّﺔ ﺍﻟّﺘﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ 1 ﺍُﺩﺧﻠﻭﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻣﻭﻗﻊ www.mishbetzet.co.il  4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ  ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ  ﻓﻌّﺎﻟﻳﺎﺕ ﻣﺣﻭﺳﺑﺔ ﺗﺗﺑﻊ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻛﺗﺎﺏ  ﺍِﺿﻐﻁﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭّﺍﺑﻁ ﺍﻟﻣﻧﺎﺳﺏ ﻻﺳﻡ ﻋﻧﻭﺍﻥ ﺇﻁﺎ ﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻌّﺎﻟﻳّﺔ .

y  ، ﺑﺣﻳﺙ 1

a  .

ﱞﻲ ﻟﺩﺍﻟّﺔ ﻣﻥ ﺍﻟﺻّﻭﺭﺓ ﻳﻅﻬﺭ ﺃﻣﺎﻣﻛﻡ ﺭﺳﻡ ﺑﻳﺎﻧ ﺍﻟﻌﺎﻣّﺔ

x

a

ﺎ ﻛﺎﻧﺕ ﻟـ J ﻗﻳﻣﺔ ﺃﻳ a ، ﻭﺃﺟﻳﺑﻭﺍ ﻋﻥ ﺍﻷﺳﺋﻠﺔ ﺍﻟﺗّﺎﻟﻳﺔ :

) ﺃ ( ﺍِﺧﺗﺎﺭﻭﺍ ﺑﻣﺳﺎﻋﺩﺓ ﺷﺭﻳﻁ ﺍﻟﻘﻳﻡ ،

1 . ﻣﺎ ﻫﻭ ﻣﺟﺎﻝ ﺗﻌﺭﻳﻑ ﺍﻟﺩّﺍﻟ ﺔ ؟ 2 . ﻓﻲ ﺃﻱ ﺍﻷﺭﺑﺎﻉ ﻳﻘﻊ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ؟ 3 . ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻣﺟﺎﻻﺕ ﺍﻟّﺗﻲ ﻓﻳﻬﺎ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﻣﻭﺟﺑﺔ / ﺳﺎﻟﺑﺔ ؟ 4 . ﻣﺎﺫﺍ ﻳﺣﺩﺙ ﻟﻘﻳﻡ y ، ﻛﻠّﻣﺎ ﻛﺑُﺭَﺕ ﻗﻳﻡ x ؟ 5 . ﻫﻝ ﻳﻭﺟﺩ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻧﻘﺎﻁ ﻗﺻﻭﻯ ؟ 6 . ﱞﻱ ﻷﺣﺩ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭَﻳﻥ، ﻫﻝ ﻳﻭﺟﺩ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﺧﻁ ﺗﻘﺎﺭﺏ ﻋﻣﻭﺩ ﺇﺫﺍ ﺃﺟﺑﺗﻡ ﻧﻌﻡ ﻷﻱ ﻣﺣﻭﺭ ﻭﻣﺎ ﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺗﻪ ؟ 7 . ﻣﺎ ﻫﻲ ﺇﺣﺩﺍﺛﻳﺎﺕ ﻧﻘﻁﺔ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ y ) ؟ ﻫﻝ ﻳﻣﻛﻧﻛﻡ ﺃﻥ ﺗﺷﺭﺣﻭﺍ ﻟﻣﺎﺫﺍ ؟ ( 8 . ﻣﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻣﺷﺗﺭﻙ ﺑﻳﻥ ﻗﻳﻡ y ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟﻣﻭﺟﻭﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻳﺳﺎﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ، ﻭﻣﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻣﺷﺗﺭﻙ ﻟﻘﻳﻡ y ﺍﻟﻣﻭﺟﻭﺩ ﺓ ﻋﻠﻰ ﻳﻣﻳﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ ؟ 9 . ﻫﻝ، ﺣﺳﺏ ﺭﺃﻳﻛﻡ، ﺳﺗﺗﻐﻳّﺭ ﺇﺣﺩﻯ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻛﻡ ﻟﻠﺑﻧﻭﺩ 1 – 8 ﺃﻋﻼﻩ، ﺇﺫﺍ ﺍﺧﺗﺭﺗﻡ ﻗﻳﻣﺔ ﺃﺧﺭﻯ ﺃﻛﺑﺭ ﻣﻥ 1 ﻟـ a ؟ ﻗﻭﻣﻭﺍ ﺑﻬﺫﺍ ﻭﺍﻓﺣﺻﻭﺍ ﺍِﻓﺗﺭﺍﺿﻛﻡ . 10 . ﺍِﺳﺗﻌﻳﻧﻭﺍ ﺑﺷﺭﻳﻁ ﺍﻟﻘﻳﻡ ﻟﻠﺑﺎﺭﺍﻣﺗﺭ a ، ﻭﻏﻳّﺭﻭﺍ ﺑﻭﺍﺳﻁﺔ ﺍﻟﺟﺭ ﻗﻳﻣﻪ، ﺑﺣﻳﺙ ﺗﺗﺎﺑﻌﻭﻥ ﺷﻛﻝ ﺍﻟﺭّ ﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲّ . ﻣﺎﺫﺍ ﻳﻣﻛﻧﻛﻡ ﺍﻟﻘﻭﻝ ﻋﻥ ﺷﻛﻝ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻛﻠّﻣﺎ ﻛﺑُﺭَﺕ ﻗﻳﻣﺔ a . 11 . ﺍُﻛﺗﺑﻭﺍ ﺍِﺳﺗﻧﺗﺎﺟﺎﺕ ﺣﻭﻝ ﺍﻟﺧﺻﺎﺋﺹ ﺍﻟﻣﺷﺗﺭﻛﺔ ﺑﻳﻥ ﻛﻝ ﺍﻟﺭّﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳّﺔ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﻣﻥ ﺍﻟﺻ ﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣّﺔ : a x y  ، ﻋﻧﺩﻣﺎ ﻳﻛﻭﻥ 1 a  . ) ﺏ ( ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺗّﻁﺑﻳﻖ، ﻋ ﺭّﻓﻧﺎ ﺍﻟﺑﺎﺭﺍﻣﺗﺭ b ، ﺍﻟّﺫﻱ ﻳﺣﻘّﻖ 10 b a   ) 1 a  ،( ﻭﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ( ) b x g x  . ﺍِﺿﻐﻁﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩّﺍﺋﺭﺓ ﺍﻟّﺗﻲ ﺑﺟﺎﻧﺏ ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ( ) g x ﻓﻲ ﺍﻟﻠّﻭﺡ ﺍﻟﺟﺑﺭﻱّ، ﻛﻲ ﻳﺗﻡ ﻋﺭﺽ ﺭﺳﻣﻬﺎ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﺃﻳﺿًﺎ . ﻏﻳّﺭﻭﺍ ﻗﻳﻣﺔ a ﻛﻣﺎ ﺗﺭﻏﺑﻭﻥ، ﻭﺃﺟﻳﺑﻭﺍ : 1 . ﺃﻱ ﺍﻟﺭّﺳﻣَﻳْﻥ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳﱠﻳْﻥ ﻳﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﺍﻵﺧﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺑﻊ ﺍﻷﻭّﻝ : ﺭﺳﻡ ﺍ ﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟّﺗﻲ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺃﻛﺑﺭ ) b ( ﺃﻡ ﺭﺳﻡ ﺍ ﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟّﺗﻲ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺃﺻﻐﺭ ) a ؟( ﺣﺎﻭﻟﻭ ﺍ ﺃﻥ ﺗﺷﺭﺣﻭﺍ ﻟﻣﺎﺫﺍ ؟ 2 . ﺃﻱ ﺍﻟﺭّﺳﻣَﻳْﻥ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳﱠﻳْﻥ ﻳﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﺍﻵﺧﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺑﻊ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ : ﺭﺳﻡ ﺍ ﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟّﺗﻲ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺃﻛﺑﺭ ) b ( ﺃﻡ ﺭﺳﻡ ﺍ ﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟّﺗﻲ ﺃﺳﺎﺳﻬﺎ ﺃﺻﻐﺭ ) a ؟ ( ﺣﺎﻭﻟﻭﺍ ﺃﻥ ﺗﺷﺭﺣﻭﺍ ﻟﻣﺎﺫﺍ ؟

© ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻘﻮﻕ ﻣﺤﻔﻮﻅﺔ ﻟﺠﺎﺑﻲ ﻳﻜﻮﺋﻴﻞ –

– ﺭﻳﺎﺿﻴّﺎﺕ ﻟﻄﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴّﺔ – ﺍﻟﺼّﻒ ﺍﻟﺜّﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ – ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪ

ﺟﺒﺮ ﻭﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻟﻠﺘّﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﺮّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻴّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

- 18 -

ﺍﻟﻔﺼﻞ :2 ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ

y 

a  :

ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲّ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ

x

ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ 1

a

) ﺃ ( ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﻣﻌﺭّﻓﺔ ﻟﻛﻝ x .

a  ﻋﻧﺩﻫﺎ a x

ﻫﻭ ﻣﻘﺩﺍﺭ ﻣﻭﺟﺏ ﻟﻛﻝ

) ﺏ ( ﺣﺳﺏ ﻗﻭﺍﻧﻳﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ، ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ 0

x .

ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻳﻘﻊ ﻛﻠّﻪ ﻓﻭﻕ ﺍ ﻟﻣﺣﻭﺭ x .

0 1 a   ﻳﻣﺭ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ 0 1 ( , )

x  ، ﻳﺗﺣﻘّﻖ

) ﺝ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ 0

0 1 a  ﻟﻛﻝ ﻗﻳﻣﺔ ﻟـ 0

a  .(

)

) ﺩ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ 0  x ، ﻳﻘﻊ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺑﻊ ﺍﻷﻭّﻝ، ﺑﻳﻧﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ 0  x ، ﻳﻘﻊ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺑﻊ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ . ﺑﺎﻟﻧّﺳﺑﺔ ﻟـ x ﺳﺎﻟﺏ، ﻛﻠّﻣﺎ ﻛﺎﻧﺕ ﺍﻟﻘﻳﻣﺔ ﺍﻟﻣﻁﻠﻘﺔ ﻟـ x ﺃﻛﺑﺭ – ﻳﻘﺗﺭﺏ ﺍﻟ ﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ x ﺃﻛﺛﺭ ﻓﺄﻛﺛﺭ، ﻟﻛﻧّﻪ ﻻ ﻳﻠﻣﺳﻪ، ﻟﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ x ﻳﺷﻛّﻝ ﺎ ﺎ ﺃﻓﻘﻳ ﺎ ﺗﻘﺎﺭﺑﻳ ﺧﻁ ﻟﻠﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ .

a  ،

) ﻫـ ( ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺗﺻﺎﻋﺩﻳّﺔ ﻓﻲ ﻛﻝ ﻣﺟﺎﻝ ﺗﻌﺭﻳﻔﻬﺎ : ﺑﻣﺎ ﺃﻥ 1



2 1 x x  ، ﻳﺗﺣﻘّﻖ :

2 a a x

x

2 x ﻳﺣﻘّﻘﺎﻥ :

x ﻭَ

ﻋﻧﺩﻫﺎ، ﻟﻛﻝ 1

.

1

) ﻭ ( ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻦ ﺭﺳﻤَﻴْﻦ ﺑﻴﺎﻧﻴﱠﻴْﻦ ﻟﺪﺍﻟّﺘَﻴْﻦ ﺃُﺳِّﻴﱠﺘَﻴْﻦ : ( ) c x f x  ، ( ) d x

g x  ، ﺑﺣﻳﺙ c ﻭَ d ﺃﻛﺑﺭ ﻣﻥ 1 :

1 . ﺑﺎﻟﻧّﺳﺑﺔ ﻟﻘﻳﻡ ﻣﻭﺟﺑﺔ ﻟـ x ) 0 x  ،( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ c d  ، ﻋﻧﺩﻫﺎ c d x x  . ﻣﺜﺎﻝ : 5 3  ، ﻟﺫﺍ 5 3 x x  ﻟﻛﻝّ 0 x  . ﺃﻱ، ﻟﻛﻝّ 0 x  ، ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ 5 x

y 

y 

y 

x

x

x

3

2

5

) ﺃ (

) ﺝ (

) ﺏ (

y

5

y 

ﻳﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ y  ) ﻭﻫ ﺫﺍ ﻫﻭ ﺳﺑﺏ ﻭﺟﻭﺩ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ) ﺝ ( ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ) ﺏ ( ﻭﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲّ ) ﺏ ( ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ) ﺃ ( ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺑﻊ ﺍﻷﻭّﻝ ، ﻛﻣﺎ ﻳﻅﻬﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺳﻡ .( 3 x

4

3

2

x  ،(

2 . ﺑﺎﻟﻧّﺳﺑﺔ ﻟﻘﻳﻡ ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻟـ x ) 0

1

ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ : c d  ﻋﻧﺩﻫﺎ :

c d x x  .

x 

x  .

5 3  ، ﻟﺫﺍ ﺃﻱ، ﻟﻛﻝّ 0

ﻟﻛﻝّ

5 3 x

x

ﻣﺜﺎﻝ :

0

3 

2 

1 

1

2

y 

x  ، ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ

x

5

ﻳﻘﻊ ﺗﺣﺕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ y  . ) ﻭﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺳﺑﺏ ﻭﺟﻭﺩ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ) ﺝ ( ﺗﺣﺕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ) ﺏ ،( ﻭ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ) ﺏ ( ﺗﺣﺕ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ) ﺃ ،( ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺑﻊ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻛﻣﺎ ﻫﻭ ﻣﻭﺻﻭﻑ ﻓﻲ ﺍﻟﺭّﺳﻡ .( 3 x

© ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻘﻮﻕ ﻣﺤﻔﻮﻅﺔ ﻟﺠﺎﺑﻲ ﻳﻜﻮﺋﻴﻞ –

– ﺭﻳﺎﺿﻴّﺎﺕ ﻟﻄﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴّﺔ – ﺍﻟﺼّﻒ ﺍﻟﺜّﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ – ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪ

ﺟﺒﺮ ﻭﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻟﻠﺘّﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﺮّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻴّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

- 19 -

ﺍﻟﻔﺼﻞ :2 ﺍﻟﺪّﺍﻟّ ﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ

ﻋﻨﺪﻣﺎ  ﻳﻜﻮﻥ

1 5 y  _ i