מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

ﺍﻟﻔﺻﻝ :3 ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃُﺳّﻳّﺔ ﻭﻣﺗﺑﺎﻳﻧﺎﺕ ﺃُﺳّﻳّﺔ

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ﺍﻟﻔﺼﻞ :3 ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃُﺳّﻴّﺔ ﻭﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺃُﺳّﻴّﺔ

ﺃ . ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃُﺳّﻴّﺔ

ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ، ﺍﻟّﺘﻲ ﻳﻈﻬﺮ ﺍﻟﻤﺠﻬﻮﻝ ﻓﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﺱ ﺍﻟﻘﻮّﺓ، ﺗُﺴﻤّﻰ: ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃُﺳّﻴّﺔ .





x 





) ﺃ ( 4 8 x 

1

6

5

x

x

9 27 x

) ﺝ (

) ﺏ (

أﻣﺜﻠﺔ:

(

)

0.001

100

ﻳﺘﻢّ ﺣﻞّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻷﺳّ ﻴّ ﺔ ﻋ ﺎﺩﺓً ، ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﻛِ ﻼ ﺍﻟﻄّ ﺮﻓَ ﻴْ ﻦ ﺇﻟﻰ ﻧﻔﺲ ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮّ ﺓ ، ﺑﺤﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸّﻜﻞ b a a x  ، ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻳﺘﺤﻘّﻖ ﺃﻥ : b x  ) 1 0 a a   , .( ﻧﺤﻞ ﺍِﺛﻨَﻴْﻦ ﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺃﻋﻼﻩ .

ﻣﺜﺎﻻن ﻣﺤﻠﻮﻻن

x 



5

9 27 x

(1) ﻧﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ) ﺏ :(



(

)



5

x

x

ﻧﻨﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺳﺎﺱ 3 ﻓﻲ ﻛِﻼ ﺍﻟﻄّﺮﻓَﻴْﻦ :

2 3 3 ( ) ( ) 3

3 5    ( 3

)

x

x

2 ( ) 3

x 



15 3

2

3 3 x

2 15 3 x x  

ﱠُﺳ ﻴْ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻷ ﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ . ﺃﻱ :

ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻷﺳﺎﺳﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ،

2 3 15 x x x      5 15

3  x







1

6

x

x

(2) ﻧﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ) ﺝ :(

(

)

0.001

100









1

6

x

x

ﻧﻨﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺳﺎﺱ 10 ﻓﻲ ﻛِﻼ ﺍﻟﻄّﺮﻓَﻴْﻦ :

3 ( ) 10

2 ( ) 10

 





3 3 x

2 12 x

10

10

ﱠُﺳ ﻴْ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻷ ﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ .

ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻷﺳﺎﺳﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴ ﻦ،

3 3 2 12 x x    

ﺃﻱ ﺃﻥ :

3 2 12 3 x x x         5 15

3  x

أﻣﺜﻠﺔ إﺿﺎﻓﯿّﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

5 1 x 

(3) ﻧﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

5 5 x 

5 ، ﻭﻋﻨﺪﻫﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : 0

ﻓﻲ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ، ﻧﻜﺘﺐ ﺑﺪﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩ 1 ﺍﻟﻘﻮّﺓ 0

x 

ﻟﺬﺍ، ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ :

0

3 4 96 x   ﺗﺬﻛﯿﺮ: ﺑﺤﺴﺐ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴّﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴّﺔ، ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻀّﺮﺏ . ﻟﺬﺍ ﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﻄّﺮَﻓَﻴْﻦ ﻋﻠﻰ ، 3 ﻭﺫﻟﻚ ﻟ ﻌﺰﻝ ﺍﻷُ ﺱّ : 96 3 32 x  

(4) ﻧﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :







x

/ :

3 4 96 3 4

2 _ i 2





x



5

2

5

x

ﻧﻨﺘﻘﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﺳﺎﺱ 2 ﻓﻲ ﻛِﻼ ﺍﻟﻄّﺮﻓَﻴْﻦ :

2 2 2

2 5 x  

x 

1 2

ﱠُﺳﻴْﻦ ﻣﻦ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺳﺎﺳَﻴْﻦ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷ :

2

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ