מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺒﺮ ﻭﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻟﻠﺘّﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﺮّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻴّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

- 25 -

ﺍﻟﻔﺼﻞ :2 ﺍﻟﺪّﺍﻟّ ﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ

ﺏ . ﺍﻟﻌﺪﺩ e ﻭﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ

x

e = y

ﻛﻴﻒ ّ ﺗﻢ ﺍﻛﺘﺸﺎﻑ ﺍﻟﻌﺪﺩ e ؟ ﻣﻥ ﺍﻟﻣﺅﻛّ ﺩ ﺃﻧّﻛﻡ ﺳﺗ ﻧﺩﻫﺷﻭﻥ ﻋﻧﺩﻣﺎ ﺗﻌﻠﻣﻭﻥ ﺃﻥّ ﻛﻝّ ﻭﺍﺣﺩٍ ﻣﻧﻛﻡ ﻛﺎﻥ ﻳﻣﻛﻧﻪ ﺃﻥ ﻳﻛﺗﺷﻔﻪ ! ﺗﻣﺎﻣًﺎ ﻛﻣﺎ ﺣﺩﺙ ﻣﻊ ﻧﺑﻳﻝ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺻّ ﺔ ﺍﻟ ﺗّ ﺎﻟﻳﺔ . ﺩﺧﻝ ﻧﺑﻳﻝ ﺇﻟﻰ ﻓﺭﻉ ﺑﻧﻙٍ ﻭﻁﻠﺏَ ﺇﻳﺩﺍﻉ 1000 ﺷﺎﻗﻝٍ ﻓﻲ ﺑﺭﻧﺎﻣﺞ ﺗﻭﻓﻳﺭٍ ﻟﻣﺩّ ﺓ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ . ﺃﺧﺑﺭﻩ ﺍﻟﻣﻭﻅّ ﻑ ﺃﻧّ ﻪ ﺳﻳﺣﺻﻝ ﻋﻠﻰ ﻓﺎﺋﺩﺓ ﺑﻧﺳﺑﺔ % 100 ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻳﺩﺍﻉ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻔﺗﺭﺓ . ﻓﺭﺡ ﻧﺑﻳﻝ ﻛﺛﻳﺭًﺍ، ﻭﺣَ ﺳَ ﺏَ ﺃﻧّ ﻪ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺳّ ﻧﻭﺍﺕ ﺍﻟـ 10 ﺳﻳﺣﺻﻝ ﻋﻠﻰ 2000 ﺷﺎﻗﻝ ) 1,000 2   2,000 .( ﻭﻟﻛﻥ ﻗﺑﻝ ﺃﻥ ﻳُﻭﺩﻉ ﺍﻟﻣﺎﻝ، ﻓﻛّﺭ ﻧﺑﻳﻝ ﻓﻲ ﻧﻔﺳﻪ " : ﺇﺫﺍ ﺃﻭﺩﻋﺕُ ﺍﻟﻣﺎﻝ ﻟﻣﺩّ ﺓ 5 ﺳﻧﻭﺍﺕ ) ﻧﺻﻑ ﻓﺗﺭﺓ ﺍﻟﺗّ ﻭﻓﻳﺭ ،( ﺳﺄﺣﺻﻝ ﻓﻳﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻓﺎﺋﺩﺓ ﻗﺩﺭﻫﺎ % 50 ﻓﻘﻁ )ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺳّ ﻧﻭﺍﺕ ﺍﻟﺧﻣﺱ ،( ﺛﻡ ﺃُ ﻭﺩِ ﻉُ ﺍﻟﻣﺑﻠﻎ ﺍﻟّ ﺫﻱ ﺳﺄﺣﺻﻝ ﻋﻠﻳﻪ ﻟﻣﺩّ ﺓ 5 ﺳﻧﻭﺍﺕ ﺃﺧﺭﻯ، ﺑﻔﺎﺋﺩﺓ ﻗﺩﺭﻫﺎ % 50 )ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺳﻧﻭﺍﺕ ﺍﻟﺧﻣﺱ ﺍﻹﺿﺎﻓﻳﺔ ،( ﻓﻛﻡ ﺳﻳﻛﻭﻥ ﺍﻟﻣﺑﻠﻎ ﺍﻟّ ﺫﻱ ﺳﺄﺣﺻﻝ ﻋﻠﻳﻪ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟـ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ "؟ ﺣَﺳَﺏ ﻧﺑﻳﻝ : ﺑﻌﺩ ﻣﺭﻭﺭ 5 ﺳﻧﻭﺍﺕ : 1,000 1.5 1,500   ، ﺑﻌﺩ ﻣﺭﻭﺭ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ : 1,500 1.5   2,250 ﺗﺭﺩّ ﺩ ﻧﺑﻳﻝ ﻭﻗﺎﻝ " : ﻟﺣﻅﺔ، ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺣﺎﻝ، ﻭﺇﺫﺍ ﻗَ ﺳّ ﻣْ ﺕُ ﻓﺗﺭﺓ ﺍﻟﺗّ ﻭﻓﻳﺭ ﺍﻟّ ﺗﻲ ﺃﺭﻏﺏ ﺑﻬﺎ، ﻭﻫﻲ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ، ﺇﻟﻰ ﻓﺗﺭﺍﺕٍ ﺃﻗﺻﺭ، ﻭﺑﻣﺎ ﻳﺗﻧﺎﺳﺏ ﻣﻌﻬﺎ ﻧﺳﺑﺔ ﺍﻟﻔﺎﺋﺩﺓ، ﻓﻘﺩ ﺃَ ﺗﻣﻛّ ﻥ ﻣﻥ ﺍﻟﺭّ ﺑﺢ ﺃﻛﺛﺭ ."! ﻗﺎﻡ ﻧﺑﻳﻝ ﺑﺎﺧﺗﺑﺎﺭ ﻓﺭﺿﻳّ ﺗﻪ ﻣﻥ ﺧﻼﻝ ﺗﻘﺳﻳﻡ ﻓﺗﺭﺓ ﺍﻟﺗّ ﻭﻓﻳﺭ ﺇﻟﻰ 4 ﻓﺗﺭﺍﺕٍ ﻣﺗﺳﺎﻭﻳﺔ، ﻛﻝّ ﻭﺍﺣﺩﺓ ﻣﻧﻬﺎ ﻣُ ﺩّ ﺗﻬ ﺎ 2.5 ﺳﻧﻭﺍﺕ، ﻣﻊ ﻓﺎﺋﺩﺓ ﺑﻧﺳﺑﺔ % 25 ﻟﻛﻝّ ﻓﺗﺭﺓ . ﺩﻋﻭﻧﺎ ﻧﺗﺎﺑﻊ ﺍﻟﺣﺳﺎﺏ : ﺑﻌﺩ ﻣﺭﻭﺭ 2.5 ﺳﻧﻭﺍﺕ ) ﻓﺗﺭﺓ ﻭﺍﺣﺩﺓ :( 1,000 1.25 1, 250   ﺑﻌﺩ ﻣﺭﻭﺭ 5 ﺳﻧﻭﺍﺕ ) ﻓﺗﺭﺗﺎﻥ :( 2 1, 250 1.25 1,000 1.25 1.25 1,000 1.25 1,562.5        ﺑﻌﺩ ﻣﺭﻭﺭ 7.5 ﺳﻧﻭﺍﺕ ) 3 ﻓﺗﺭﺍﺕ :( 3 1,562.5 1.25 1,000 1.25 1.25 1.25 1,000 1.25 1,953.12         ﺑﻌﺩ ﻣﺭﻭﺭ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ ) 4 ﻓﺗﺭﺍﺕ :( 4 1,953.12 1.25 1,000 1.25 1.25 1.25 1.25 1,000 1.25          2,441.41 " ﺇﺫﺍً، ﻟﻣﺎﺫﺍ ﻻ ﺃُ ﻭﺩِ ﻉُ ﺍﻟﻣﺎﻝ ﺑﺈﻳﺩﺍﻉٍ ﻳﻭﻣﻲٍّ ﺑﻔﺎﺋﺩﺓ ﻣﻘﺩﺍﺭﻫﺎ 1 00 3 ,650 % ، ﻭﺃﻋﻳﺩ ﺇﻳﺩﺍﻋﻪ ﻣﻥ ﺟﺩﻳﺩ ﻛﻝّ ﻳﻭﻡ "؟ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺣﺎﻟﺔ، ﻋﺩﺩ ﺍﻹﻳﺩﺍﻋﺎﺕ ﺧﻼﻝ ﺍﻟـ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ ﺳﻳﻛﻭﻥ : 10 365 3,650   " ﻭﻟﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻣﺑﻠﻎ ﺍﻟّﺫﻱ ﺳﺄﺣﺻﻝ ﻋﻠﻳﻪ ﻣﻘﺎﺑﻝ 3,650 ﺎ W ﺇﻳﺩﺍﻋًﺎ ﻳﻭﻣﻳ : 3 ,650 1 , 3 650 1,000 1    2,717.91 _ i ﺇﻧّ ﻪ ﺑﺎﻟﻔﻌﻝ ﻣﺑﻠﻎٌ ﺟﻣﻳﻝٌ W ﺟﺩ ﺍ ، ﻟﻛﻥ ﺭﺑّ ﻣﺎ ﻳﻣﻛﻥ ﺍﻹﻳﺩﺍﻉ ﺑﻧﻔﺱ ﺍﻟﻁّ ﺭﻳﻘﺔ ﻟﻔﺗﺭﺍﺕٍ ﺻﻐﻳﺭﺓ W ﺟﺩ ﺍ ، ﻭﻛﺳﺏ ﺍﻟﻣﺯﻳﺩ ﻣﻥ ﺍﻟﻣﺎﻝ ." ﻭﺑﺷﻛﻝ ﻋﺎﻡ : ﺇﺫﺍ ﺃﻭﺩﻉ ﻧﺑﻳﻝ 1,000 ﺷﺎﻗﻝٍ ﱠﺳﻡ ﺍﻟـ ﻭﻗ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ ﺇﻟﻰ n ﻓﺗﺭﺍﺕ ﻣﺗﺳﺎﻭﻳﺔ، ﺑﻔﺎﺋﺩﺓ ﻗﺩﺭﻫﺎ 1 00% n ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻝ ﻭﺍﺣﺩﺓ ﻣﻥ ﺍﻟﻔﺗﺭﺍﺕ ﻋﻧﺩﻫﺎ ، ﺳﻳﺣﺻﻝ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟـ 10 ﺳﻧﻭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻣﺑﻠﻎ n 1 1,000 1 n   _ i ﺷﺎﻗﻝ . ﻧﻔﺤﺺ : ﻛﻡ ﺳﻳﻛﻭﻥ ﺍﻟﻣﺑﻠﻎ، ﺍﻟّﺫﻱ ﻳﻣﻛﻥ ﺃﻥ ﻧﺣﺻﻝ ﻋﻠﻳﻪ ﻣﻘﺎﺑﻝ ﺇﻳﺩﺍﻉ ﺷﺎﻗﻝ ﻭﺍﺣﺩ ﺑﻔﺎﺋﺩﺓ ﻗﺩﺭﻫﺎ 100% ﻟﻣﺩّﺓ ﻣﻌﻳّﻧﺔ، ﱠﺳﻣﻧﺎ ﺍﻹﻳﺩﺍﻋﺎﺕ ﻟـ ﺇﺫﺍ ﻗ n ﻣﺭّﺍﺕ : n 1 1 n  _ i . ﺍِﺳﺗﻌﻳﻧﻭﺍ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍﻟﺣﺎﺳﺑﺔ، ﻭﺍﻓﺣﺻﻭﺍ ﻗﻳﻣﺔ ﺍﻟﺗّﻌﺑﻳﺭ n 1 1 n  _ i ﻟـ 1,000 n  ، 10,000 n  ، ﻭﻫﻛﺫﺍ ﺩﻭﺍﻟﻳﻙ . ھﻞ ھﻨﺎك ّ ﺣﺪ ﻟﮫﺬه اﻟﻘﯿﻤﺔ؟ ﻣﻔﺎﺟﺄﺓ ! ﱞ ﻣﻘﺎﺑﻝ ﺇﻳﺩﺍﻉ ﻫﻧﺎﻙ ﺣﺩ ﺷﺎﻗﻝ ﻭﺍﺣﺩ ﻭﻫﻭ 2.718… ﺷﺎﻗﻝ . ﺍﻵﻥ، ﻛﻝّ ﻣﺎ ﺗﺑﻘّﻰ ﻟﻧﺑﻳﻝ ﻫﻭ ﺃﻥ ﻳﺗﺣﻘّﻖ ﻣﻣّ ﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺑﻧﻙ ﺳﻳﻭﺍﻓﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻝّ ﻋﻠﻰ ﻭﺍﺣﺩﺓ ﻣﻥ ﺧﻁﻁﻪ ...  ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻣﺳﺄﻟﺔ ، ﺑﺣﺙ ﺍﻟﺭّ ﻳﺎﺿﻲّ ﻳﻌﻘﻭﺏ ﺑﺭﻧﻭﻟّ ﻲ ﻋﺎﻡ 1683 ، ﻭﺗﻭﺻّﻝ ﺇﻟﻰ ﺃﻥّ ﻫﻧﺎﻙ ﱞ ﺣﺩ ّ ﻟﻠﺗ ﻌﺑﻳﺭ n 1 1 n  _ i ، ﻭﻗﺭّﺭ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺣﺩّ ﻳﻘﻊ ﺑﻳﻥ 2 ﻭَ 3 ، ّ ﻟﻛﻧ ﻪ ﻟﻡ ﻳﻌﺭﻑ ﻪ ﻗﻳﻣﺗ ﺍﻟﺩّ ﻗﻳﻘﺔ . َ ﻣ ﻥْ ﺗﺎﺑﻊ ﻪ ﻁﺭﻳﻘ ﻭﺍﻛﺗﺷﻑ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺣﺩّ ﻪ ﻭﻋﻳّﻧ ﺑﺎﻟﺭّ ﻣﺯ e ، ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺭّ ﻳﺎﺿﻲّ ﻟﻳﻭﻧﺎ ﺭﺩ ﺃﻭﻳﻠﺭ ) 1707 – 1783 ( ، ﺍﻟّﺫﻱ ﺍِﻛﺗﺷﻑ ﺃﻧّﻪ ﻛﻠّﻣﺎ ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﻗﻳﻡ n ﺩﻭﻥ ﺣﺩٍّ ) ﺗﺅﻭﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻼّﻧﻬﺎﻳﺔ ( ، ﻓﺈﻥّ ﻗﻳﻣﺔ e  . ﺍِﻛﺗﺷﻑ ﺃﻭﻳﻠﺭ ﺃﻳﺿًﺎ ﻭﺑﺭﻫﻥ ﺃﻥ e ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻏﻳﺭ ﻧﺳﺑﻲ ، ﺃﻱ ﺃﻧّﻧﺎ ﻻ ﻧﺳﺗﻁﻳﻊ ﻛﺗﺎﺑﺗﻪ ﻛﻘﺳﻣﺔ ﻋﺩﺩَﻳْﻥ ﺻﺣﻳﺣَﻳْﻥ )ﺑﺳﻁ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺎﻡ( . ﻣﻌﻧﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﻛﺗﺷﺎﻑ ﻫﻭ ﺃﻥّ ﻟﻠﻌﺩﺩ e ﻋﺩﺩٌ ﻻ ﱞﻲ ﻧﻬﺎﺋ ﻣﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺑﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺍﻟﻌﺷﺭﻳّ ﺔ ﺩﻭﻥ ﻭﺟﻭﺩ ﺗﻛﺭﺍﺭٍ ﺩﻭﺭﻱٍّ . ﻭﻫﻛﺫﺍ ﺗﺑﻳّﻥ ﺃﻥّ ﺔ ﻣﺷﻛﻠ ﻳﻭﻣﻳّ ﺔ ﻣﺛﻝ ﺣﺳﺎﺏ ﺍﻟﻔﺎﺋﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺩﺍﻉٍ ٍّ ﻣﺎﻟﻲ ، ﺃﺩّﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻛﺗﺷﺎﻑ ﻋﺩﺩٍ ُ ﻣ ﻬﻡٍّ ﻲ ﻓ ﻋﺎﻟﻡ ﺍﻟﺭّ ﻳﺎﺿﻳّ ﺎﺕ ! ﺍﻟﺗّ ﻌﺑﻳﺭ n 1 1 n  _ i ﺗﻘﺗﺭﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺛّﺎﺑﺕ e ، ﺑﺣﻳﺙ 2.7182818...

© ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻘﻮﻕ ﻣﺤﻔﻮﻅﺔ ﻟﺠﺎﺑﻲ ﻳﻜﻮﺋﻴﻞ –

– ﺭﻳﺎﺿﻴّﺎﺕ ﻟﻄﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴّﺔ – ﺍﻟﺼّﻒ ﺍﻟﺜّﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ – ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪ