מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺒﺮ ﻭﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻟﻠﺘّﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﺮّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻴّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

- 26 -

ﺍﻟﻔﺼﻞ :2 ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻴّﺔ

ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻳﻭﻧﺎﺭﺩ ﺃﻭﻳﻠﺭ ﺃﺑﺣﺎﺛﻪ، ﻭﺍﻛﺗﺷﻑ ﻣﻥ ﺑﻳﻥ ﺃﻣﻭﺭٍ ﺃﺧﺭﻯ ﺃﻳﺿًﺎ ﺍﻟﺩّ ﺍﻟﺔ ﺍﻷﺳّ ﻳّ ﺔ eˣ ، ﺍﻟّ ﺗﻲ ﻛﻣﺎ ﺳﻧﺗﻌﻠّ ﻡ ﻻﺣﻘًﺎ، ﻫﻲ ﺍﻟﺩّ ﺍﻟّ ﺔ ﺍﻟﻭﺣﻳﺩﺓ )ﺣﺗﻰ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺿّ ﺭﺏ ﺑﺛﺎﺑﺕ ( ﺍﻟّ ﺗﻲ ﺗﺳﺎﻭﻱ ﻣﺷﺗﻘّ ﺗﻬﺎ . ﻟﻛﻥ ﻗﺑﻝ ﺫﻟﻙ، ﺳﻧﺗﻌﺭّ ﻑ ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋﺹ ﻣﻬﻣّ ﺔ ﺃﺧﺭﻯ ﺗُ ﻣﻳّ ﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩّ ﺍﻟﺔ .

y  ؟

y e  ، ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ رﺳﻮم ﺑﯿﺎﻧﯿّﺔ أﺧﺮى ﻟﻠﺪّوال ﻣﻦ اﻟﺼّﻮرة a x

ﻣﺎ ھﻮ اﻟﺨﺎص ﻓﻲ اﻟﺮّﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّاﻟّﺔ x

ﺣﺗّﻰ ﺍﻵﻥ ﺭﺃﻳﻧﺎ ﺃﻥ ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺩّﻭﺍﻝ ﺫﻭﺍﺕ ﺍﻟﺻّﻭﺭﺓ : a  ( ﻣﻌﺭّﻓﺔ ﻭﻣﻭﺟﺑﺔ ﻟﻛﻝ ﻗﻳﻣﺔ ﻟـ x ، ﻭﺭﺳﻭﻣﻬﺎ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳّﺔ ﺗﻘﻁﻊ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ y ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ 0 1 ( , ) . a x y  ) 0 a  ، 1

y  ،

y

ﻧﺭﺳﻡ ﺑﺩﻗّﺔ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ

x

2

y 

x

2

ﻭﻧﻣﺭّﺭ ﺑﺩﻗّﺔ 0 1 ( , ) . ﺇﺫﺍ ﻗﺳﻧﺎ ﻣﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯّﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺣﺎﺩّﺓ  ﺍﻟّﺗﻲ ﻳﻛﻭّﻧﻬﺎ ﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ﻣﻊ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ x ، ﺳﻧﺟﺩ ﺃﻥ ﻣﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ﻫﻭ 3 4.7277   . ﻭﻷﻥ ﻣﻳﻝ ﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ، m ، ﻳُﺣﻘّ ﻖ m tg   ﻧﺣﺻﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ : 34.7277 0.6931 1 tg    . ﺃﻱ ﺃﻧّﻪ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺣﺎﻟﺔ 1 m  . ﺑﻧﺣﻭ ﺷﺑﻳﻪ، ﻧﺭﺳﻡ ﺑﺩﻗّﺔ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ 3 x y  ، ﺎ ﻟﻠﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟ W ﻭﻧﻣﺭّﺭ ﺑﺩﻗّﺔ ﻣﻣﺎﺳ ﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ 0 1 ( , ) . ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻣﺭّﺓ، ﺍﻟﺯّﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺣﺎﺩّﺓ  ، ﺍﻟّﺗﻲ ﻳﻛﻭّﻧﻬﺎ ﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ﻣﻊ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ x ، ﻫﻲ 47.69   . ﻭﻷﻥ ﻣﻳﻝ ﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ، m ، ﻳُﺣﻘّﻖ m tg   ﻭَ 47.69 1.0986 1 tg    ، ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ ﺃﻥ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺣﺎﻟﺔ 1 m  . ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻣﻧﺎ ﺑﺩﻗّﺔ ﺍﻟﻛﺛﻳﺭ ﻣﻥ ﺍﻟﺭّﺳﻭﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻳّﺔ ﻟﺩﻭﺍﻝ ﻣﻥ ﺍﻟﺻّﻭﺭﺓ a x ﺎ ﻟﻠﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ W ﻣﻣﺎﺳ



x

y 

y

x

3



x

y  ، ﺑﺣﻳﺙ ﺗﺗﺭﺍﻭﺡ ﻗﻳﻣﺔ a ﺑﻳﻥ 2 ﻭَ ، 3 ﻋﻧﺩﻫﺎ، ﻣﻘﺩﺍﺭ

3 4.7  ﻭَ 47.7  ، ﻭﻓﻘﻁ

0 1 ( , ) ﻭﺑﻳﻥ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ x ، ﺳﻳﺗﺭﺍﻭﺡ ﺑﻳﻥ

ﺍﻟﺯّﺍﻭﻳﺔ ﺑﻳﻥ ﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ﻟﻠﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎ ﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ

ﻋﻧﺩﻣﺎ ﺗﻛﻭﻥ ﻗﻳﻣﺔ a ﻗﺭﻳﺑﺔ ﻣﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ 2.718 ﺳﻧﺣﺻﻝ ﻋﻠﻰ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻘﺩﺍﺭﻫﺎ 45  . ﺇﺫﺍ ﻋ ﻭّﺿﻧﺎ a e  ، ﺳﻧﺣﺻﻝ ﻋﻠﻰ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻘﺩﺍﺭﻫﺎ 45  ، ﺑﺎﻟﺿّﺑﻁ .

y e  ، ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﺮّﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّاﻟّﺔ 0 1 ( , )

ﺑﻜﻠﻤﺎت أﺧﺮى، ﺑﺎﻟﻨّﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪّاﻟّﺔ اﻷُﺳّﯿّﺔ x ﻳﺴﺎوي ﺑﺎﻟﻀّﺒﻂ 1 ) 45 1 tan   .(

ﺗﻮﺿﯿﺢ ﻣﺤﻮﺳﺐ : ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﺮّﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّاﻟّﺔ x y e  ﺍُﺩﺧﻠﻭﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻣﻭﻗﻊ www.mishbetzet.co.il  4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ  ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ  ﻓﻌّﺎﻟﻳﺎﺕ ﻣﺣﻭﺳﺑﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ  ﺍِﺿﻐﻁﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭّﺍﺑﻁ ﺍﻟﻣﻧﺎﺳﺏ ﻻﺳﻡ ﻋﻧﻭﺍﻥ ﺇﻁﺎﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻌّﺎﻟﻳّﺔ .

ﻋﻠﻰ ﻟﻭﺡ ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺃﻣﺎﻣﻛﻡ، ﻳﻅﻬﺭ ﺭﺳﻣﺎﻥ ﺑ ﻳﺎﻧﻳّﺎﻥ ﺑﺎﻟﻠّﻭﻧَﻳْﻥ : ﺍﻷﺯﺭﻕ ﻭﺍﻟﺑﺭﺗﻘﺎﻟﻲ . ﺑﺎﻟﻠّﻭﻥ ﺍﻷﺯﺭﻕ – ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻳّﺔ ( )

x f x e  ، ﻭﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ﻟﻠﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ ( ) a x g x  , ﻭﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ﻟﻠﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ

0 1 ( , ) .

ﺑﺎﻟﻠّﻭﻥ ﺍﻟﺑﺭﺗﻘﺎﻟﻲ – ﺍﻟﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻷُﺳّﻳّﺔ

0 1 ( , ) .

ﻭﻛﺫﻟﻙ، ﻣﻌﻁﻰ ﻣﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯّﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺣﺎﺩّﺓ ﺑﻳﻥ ﺍﻟﻣﻣﺎﺱ ﻟﻠﺭّﺳﻡ ﺍﻟﺑﻳﺎﻧﻲ ﻟﻠﺩّﺍﻟّﺔ ( ) a x g x  ﻓﻲ ﺍﻟﻧّﻘﻁﺔ 0 1 ( , ) ﻭﺑﻳﻥ ﺍﻟﻣﺣﻭﺭ x ، ﺑﺎﻟﻠ ﻭﻥ ﺍﻟﺑﺭﺗﻘﺎﻟﻲ . ﻏﻳّﺭﻭﺍ ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻘﻭّﺓ a ﺑﻭﺍﺳﻁﺔ ﺷﺭﻳﻁ ﺍﻟﻘﻳﻡ، ﻭﺗﺎﺑﻌﻭﺍ ﺍﻟﻣﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻣﺗﻐﻳّﺭ ﻟ ﻠﺯّﺍﻭﻳﺔ ﺃﻋﻼﻩ . ﺍُﻛﺗﺑﻭﺍ ﻣﺎﺫﺍ ﻳﻣﻛﻧﻧﺎ ﺍﻟﻘﻭﻝ ﻋﻥ ﻣﻘﺩﺍﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯّﺍﻭﻳﺔ، ﻛﻠّﻣﺎ ﺍِﻗﺗﺭﺑﺕ ﻗﻳﻣﺔ a ﻣﻥ ﺍﻟﻘﻳﻣﺔ 2.718 e  .

© ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻘﻮﻕ ﻣﺤﻔﻮﻅﺔ ﻟﺠﺎﺑﻲ ﻳﻜﻮﺋﻴﻞ –

– ﺭﻳﺎﺿﻴّﺎﺕ ﻟﻄﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺗﻌﻠﻴﻤﻴّﺔ – ﺍﻟﺼّﻒ ﺍﻟﺜّﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ – ﺍﻟﻤﻨﻬﺞ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪ