מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

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ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﱞﻲ ﱡُﺱ ﻗﻮّﺓ ﻧﺴﺒ ﺃ

ﺩ .

n a   _ i n m

m

m

n a a

اﻟﺼّﯿﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣّﺔ :

1 n n a a 

m  :

ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻّﺔ ﻋﻨﺪ ﻣﺎ ﻳﻜﻮن 1

a  .

ﻓﻲ اﻟﺼّﯿﻐﺘَﯿْﻦ أﻋﻼه : m ھﻮ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ، n

ﱞﻲ ھﻮ ﻋﺪد طﺒﯿﻌ ﻻ ﻳﺴﺎوي 1 ، 0

ﱡُﺳﮫﺎ ﻋﺪد أ ﻧﺴﺒ ﱞﻲ ،

ﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬورٌ ﻣﻦ درﺟﺔ ﻓﺮدﻳّﺔ ﻟﻸﻋﺪاد اﻟﺴّﺎﻟﺒﺔ أﻳﻀًﺎ، وﻟﻜﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺑﺼﻮرة ﻗﻮ ة

اِﻧﺘﺒﮫﻮا :

a  .

ﻣﻌﺮّﻓﺔ ﻓﻘﻂ ّ ﻟﻜﻞ 0

ﻣﻌﺮّف ﻟﻜﻞ x ﺣﻘﯿﻘﻲّ، ﺑﯿﻨﻤﺎ اﻟﺘّﻌﺒﯿﺮ 1

x 

3

3 x ﻣﻌﺮّف ﻓﻘﻂ ﻟﻜﻞ 0

ﻣﺜﺎل: اﻟﺘّﻌﺒﯿﺮ

x

.

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

1 3

(1) ﻧﺤﺴﺐ ﺑﻄﺮﻳﻘﺘَﻴْﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘَﻴْﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ 1 3 8 :

3 8 8 2  

) i (

1 2 2 2      _ i 9 3 27    _ i      _ i 1 3 3 3 3 1 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3

1

) ii (

3 8 2

(2) ﻧﺤﺴﺐ ﺑﺄﺭﺑﻊ ﻁﺮﻕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ 3 2 9 :

3 2

ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ :

) i (

9

3 2

2 3 9 9 729 27   

) ii ( ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ :

3

) iii ( ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ :

2

9 3

3 3 27

1 2 3 3 9 9 3 27    _ i 3 2

) iv ( ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ :

(3) ﻧﺤﺴﺐ ﺑﺄﺭﺑﻊ ﻁﺮﻕ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ 2 3 8  . اﻟﺤﻞّ:

2     _ i 3 2 1 1 4 2 3 2 2 2  

2 8      _ i 8      2 3 3 2 3 2 1 1 4 2 3 1 1 8 2 2 3 1 1 1 1 4 64 3 3 2



2

) ii (

) i (

3

8

2 3 8      1 1

2 1 1 4 2

) iv (

) iii (

3 ( ) 8

2 3

2 3

2

8

8

8

ﻣﻼﺣﻈﺔ: ﻷﺟﻞ ﺣﺴﺎﺏ ﻗﻮﻯ ﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺃُﺳُﺲ ﻧﺴﺒﻴّﺔ، ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺃﻳﻀًﺎ . ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ، ﻛﻲ ﻧﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ 2 3 8

 ، ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﻀّﻐﻂ ﻓﻲ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨّﺤﻮ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻲ :

2 3         ( – ) = x  

8

2 3 8          ( – ) = x 

ﺃﻭ ﺑﺂﻻﺕ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺃﺧﺮﻯ :

ﺑﻬﺪﻩ ﺍﻟﻄّﺮﻳﻘﺔ، ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﺟﺬﻭﺭ ﻣﻦ ﺃﻱ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﺎ ﻧﺖ.

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– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ