מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 11 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :1 ﻗﻭﻯ ﻭﺟﺫﻭﺭ .

ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠ ﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬّﺍﺗﻲ

ﺍِﺳﺘﻌﻴﻨﻮﺍ ﺑﻘﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ ﻭﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟّﺘﻲ ﺗﻈﻬﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺼّﻔﺤﺔ ﺍﻟﺴّﺎﺑ ﻘﺔ، ﻭﺑﺮﻫﻨﻮﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ﻓﻲ ﻛﻞّ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺘّﻤﺎﺭﻳﻦ (6) – (1) ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ، ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ 0 x  .

2 5 x x x 

3 x x x 

(2)

(1)

3 5 x x x x 

4 9 x x x 

(4)

(3)

4 2 2 x x x x  7

2 2 3 x x x x x   3 5

(6)

(5)







ﺝ . ﺟﺬﻭﺭ ﻣﻦ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻋﺎﻟﻴّﺔ ﺑﺸﻜﻞ ﻣ ﺸﺎﺑﻪٍ ﻟﻠﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘّ ﺮﺑﻴﻌﻲّ ) ﺃﻱ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪّ ﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜّ ﺎﻧﻴﺔ ،( ﻳﺘﻢّ ﺃﻳﻀًﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﺪّ ﺭﺟﺔ .n ﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺟﺬور ﻣﻦ درﺟﺔ أﻳ  n  

ﻣﻌﻄﻰ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿّﺎن a وَ b ، وﻣﻌﻄﻰ اﻟﻌﺪد n

ﱞﻲ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ طﺒﯿﻌ . 1

n b a 

n b a 

b ﱠﻤﻰ ﺟﺬرًا ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ ﻳُﺴ n ﻟﻠﻌﺪد a ، إذا ﺗﺤﻘّﻖ أن

، وﻧﺮﻣﺰ ﺑﺎﻹﺷﺎرات اﻟﺮّﻳﺎﺿﯿّﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻨّﺤﻮ ا ﻟﺘّﺎﻟﻲ

ﻧُﻤﯿِّﺰ ﺑﯿﻦ ﺣﺎﻟﺘَﯿْﻦ :   ِ ﺑﺎﻟﻨّﺴﺒﺔ ﻟـ n زوﺟﻲّ، ﻧﻌﺮّف اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ n

a  .  أﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪدﻳّﺔ :

ّ ﻓﻘﻂ ﻟﻜﻞ 0

4 16 2  2 ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 4 ﻟﻠﻌﺪد 16 ) ﻷنّ 729 3  3 ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 6 ﻟﻠﻌﺪد ) 729 ﻷنّ 6

n b a 

b  ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

ّ ﻟﻜﻞ 0

.

4 2 16  . (

6 3 729  . (

ﻏﯿﺮ زوﺟﻲّ،

ِ ﺑﺎﻟﻨّﺴﺒﺔ ﻟـ n

أﻣﺜﻠﺔ ﻋﺪدﻳّﺔ : 

ّ ﻟﻜﻞ a ﺣﻘﯿﻘﻲّ . 

ُ ﻧ ﻌﺮّف اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ n

3 64 4  أي أن اﻟﻌﺪد 4 ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 3 ﻟﻠﻌﺪد 64 ، ) ﻷنّ 125 5   5  ھﻮ ﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪّرﺟﺔ اﻟـ 3 ﻟﻠﻌﺪد 125  ، ﻷنّ 125 3

n b a 

اﻟﻤﺴﺎو ا ة :

3 4 64  (

ّ ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﻟﻜﻞ b ﺣﻘﯿﻘﻲٍّ .

3 ( )   . 5

ﺍِﺳﺘﻨﺎﺩًﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘّﻌﺮﻳﻒ ﺃﻋﻼﻩ : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ n ﻋﺪﺩًﺍ ﻓﺮﺩﻳ\ﺎ، ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ :

 n a a _ i ﻟﻜﻞّ a ﺣﻘﻴﻘﻲٍّ . n a a _ i ﻓﻘﻂ ﻟﻜﻞ 0 a  . n  n

ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ n ﻋﺪﺩًﺍ ﺯﻭﺟﻴ\ﺎ، ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ :

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ