מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 73 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :7 ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ ﻭﻣﺗﺑﺎﻳﻧﺎﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

ﺃ 4. ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ ﻭﺃُﺳّﻴّﺔ ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﺇﺧﺮﺍﺝ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻣﻦ ﻁﺮﻓَﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ

ﻫﻨﺎﻙ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃُﺳّﻴّﺔ، ﻳﻤﻜﻦ ﺣﻠّﻬﺎ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺇﺧﺮﺍﺝ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻣﻦ ﻁﺮﻓَﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ . ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﻘﻮﻝ ﺃﻳﻀًﺎ، ﺇﻧّﻨﺎ ﻧﺤﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺗﻔﻌﻴﻞ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻋﻠﻰ ﻁ ﺮﻓَﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

(1) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2 5 x  . اﻟﺤﻞّ: ﺣﺴﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ :

2 5 log x  ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺁﻟﺔٍ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴّ ﺔ ﺗﺤﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤِﻔﺘﺎﺡ

log  ﺣﺴﺐ ﺍﻹﺭﺷﺎﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺼّﻔﺤﺔ ، 62

ﻟﻜﻦ ﻫﻨﺎﻙ ﺁﻻﺕ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴّﺔ، ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺑﻮﺍﺳﻄﺘﻬﺎ ﺣﺴﺎﺏ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻟﻸﺳﺎﺱ ،2 ﻣﺒﺎﺷﺮﺓً . ﻓﻲ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ، ﻧﺤﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨّﺤﻮ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻲ : ﻧُﺨﺮﺝ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺣﺴﺐ ﺃﺳﺎﺱ ﻧﺤﻦ ﻧﺨﺘﺎﺭﻩ ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺑﺤﺴﺐ ﺍﻷﺳﺎﺱ e ( ﻣﻦ ﻁﺮﻓَﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ، ﻭ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ:

2 5 ln( ) ln x  2 5 ln ln x  

ﺣﺴﺐ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺍﻟﻘﻮّﺓ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

5 ln x   2 ln

ﻧﺴﺘﻌﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤِﻔﺘﺎﺡ ln ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩ ﻓﻲ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

2.3219

(2) ﺍِﺣﺴﺒﻮﺍ :

3 7 log .

اﻟﺤﻞّ:

x 

3 7 log

.

ﻧﺮﻣﺰ:

3 7 x 

ﺣﺴﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

3 7 log log x  3 7 log log x 

ﻧُﺨﺮﺝ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ) ﺣﺴﺐ ﺍﻷﺳﺎﺱ ( 10 ﻣﻦ ﻁﺮﻓَﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

ﺣﺴﺐ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺍﻟﻘﻮّﺓ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

7 3 log x   log

ﻧﺴﺘﻌﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤِﻔﺘﺎﺡ log ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩ ﻓﻲ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

1.771







ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬّﺍﺗﻲ ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺇﺧﺮﺍﺝ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻣﻦ ﻁﺮﻓَﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ﺍِﺳﺘﻌﻴﻨﻮﺍ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ (1) .( ﺍُﻛﺘﺒﻮﺍ ﺣﺘ ﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻨﺎﺯﻝ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻨّﻘﻄﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳّﺔ . (1) 2 15 x  (2) 3 70 x  (3) 5 100 x  (4) 7 2 x 

10 30 x 

(5)

ﺍِﺣﺴﺒﻮﺍ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺘّﻌﺎﺑﻴﺮ ﺍﻟﻤﻮﺟﻮﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺘّﻤﺎﺭﻳﻦ (10) – (6) ) ﺍِﺳﺘﻌﻴﻨﻮﺍ ﺑﺎﻟﻤﺜﺎﻝ (2) .( ﺍُﻛﺘﺒﻮﺍ ﺣﺘّﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻨﺎﺯﻝ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻨّﻘﻄﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳّﺔ . (6) 3 5 log (7) 4 0.8 log (8) 2 73 log (9) 1 0 0.6 log (10) 2 .3 4.5 log

أﺟﻮﺑﺔ ﻧﮫﺎﺋﯿّﺔ

(5) 1.477

(4) 0.356

(3) 2.861

(2) 3.867

(1) 3.907

(9) 0.222 

(7) 0.161 

(10)

(8) 6.19

(6)

1 .806

1 .465

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ