מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

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ﺍﻟﻔﺻﻝ :7 ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ ﻭﻣﺗﺑﺎﻳﻧﺎﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

x   

(4) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

2 ln ln ln( x

)

2

4

اﻟﺤﻞّ: ﻳﻘﻊ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟّﺬﻱ ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺘﺎﻥ 0

4 x   ،

x  ﻭﺃﻳﻀًﺎ

0

x  .

x  ﻭﺃﻳﻀًﺎ 4

ﺃﻱ ﺃﻥ 0

ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ 0 x  . ﻧﺴﺘﻌﻴﻦ ﺑﻘﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻠّﻮﻏﻴﺜﻤﺎﺕ ﻭﻧﻜﺘﺐ :

2 2 4 ln ln ( ) x x   _ i 2

x  

ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘّﺮﺑﻴﻌﻴّﺔ :

2 4) (

x





ﺍﻟّﺘﻲ ﺣﻼّﻫﺎ ﻫﻤﺎ :

,

4

2

x

x

1

2

2 x  ﻏﻴﺮ ﻣﻘﺒﻮﻝ ، ﻷﻧّﻪ ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳﺾ .

ﺍﻟﺤﻞّ

2

2 x 

(5) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

log

1

9

اﻟﺤﻞّ: ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ

2 x  ، ﺃﻱ ﺃﻥ 0

x  .

0

2 9 9 log log x  9

ﻓﻲ ﺍﻟﻄّﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ، ﻧﻜﺘﺐ ﺑﺪﻝ ،1 ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ

9 9 log :

x 

1

2

ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

9

2 9 x  

3 x ,  

ﺣﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻤﺎ :

3

x

1

2

ﻣﻼﺣﻈﺔ: ﻧﻨﺘﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻧّﻪ ﻛﺎﻥ ﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻨﺎ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻘﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﺎﺕ ﻭﺑﺪﻝ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ 2

9 log x ﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ

2 log

،

x

9

0.5 x x     0.5 9 3

x 

ﻭﺣﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ:

log

log

،

2

1

9

9

ﺃﻱ، ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺱ ﺍﻟﻘﻮّﺓ ﺯﻭﺟﻲّ ، ﻧﺨﺴﺮ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﺬﻩ ﺣﻼ . ﻳﺤﺪﺙ ﻫﺬﺍ ﻷﻥ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ 2 9 log x ﻣﻌﺮّﻑ ﺃﻳﻀ ﺎ ﻟـ 0

x  . ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ، ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻹﺿﺎﻓﻲ ﻳﺤﻘّﻖ :





2

log

x

log ( ) x

2

9

9

 

0.5    x



log ( ) x  





ﻫﻮ:

ﻭﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ

log ( ) x

2

1

0.5

9 3

3

x

9

9

) ﺍُﻧﻈﺮﻭﺍ ﺇﻟﻰ " ﺍِﻧﺘﺒﻬﻮﺍ " ﻓﻲ ﺍﻟﺼّﻔﺤﺔ .( 58

 

2  

(6) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

4 log (

) log (

) log

3 1 x

48

x

4

4

اﻟﺤﻞّ:

x 

x  ﻭﺃﻳﻀًﺎ

3 x   ، ﺃﻱ 2

x   ﻭﺃﻳﻀًﺎ

1 3

ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ 2 0

1 0

x  . ﻧﺴﺘﻌﻴﻦ ﺑﻘﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﺎﺕ ﻭﻧﻜﺘﺐ :

ﺃﻱ ﺃﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ 2

3 1 x x    _ i x x    _ i 2 )( 3 1 2 )(

4 log (

) log

48

4

4 log (

) log

48

4

2 3 5 2 48 x x   

ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴّﺔ :





1 3

ﺍﻟّﺘﻲ ﺣﻼّﻫﺎ ﻫﻤﺎ :

,

5

3

x

x

1

2

3 x  ﻏﻴﺮ ﻣﻘﺒﻮﻝ، ﻷﻧّﻪ ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳﺾ .

1 3

ﺍﻟﺤﻞّ

2

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– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ