מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

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ﺍﻟﻔﺻﻝ :7 ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ ﻭﻣﺗﺑﺎﻳﻧﺎﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ



a a log () log () f x g x

ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨّﻮﻉ

ﺃ 2.

ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨّﻮﻉ، ﺳﻨﺴﺘﻌﻴﻦ ﺑﺎﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ :

a a   ,





 

, ( ) ( ) f x g x

,

a a log () log () f x g x

( ) ( ) f x g x

1

0

0

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

x 



1 2

(1) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

log

2 3 log

log

4

2

2

2

اﻟﺤﻞّ: ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ 0 x  . ﺣﺴﺐ ﻗﻮ ﺍ ﻧﻴﻦ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﺎﺕ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻧﻜﺘﺐ :

1 2

2 3 4 log log log x   2 3 4 log log ( ) x   2 9 2 log log ( ) x    2 2 2 2 0.5 2 2

ﺃﻱ ﺃﻥ :

x 

18

ﻣﻼﺣﻈﺔ: ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، ﺃﻳﻀًﺎ ، ﺑﺪﻭﻥ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳﺾ .

ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟّﺘﻲ ﻭﺟﺪﻧﺎﻫﺎ ) ﺍﻟﺤﻞّ ،( ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ ) ﺍﻷﺻﻠﻴّﺔ ،( ﻭﺍﻟﺘّﺤﻘّﻖ ﻣﻦ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻣﻮﺟﻮﺩﺓ ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ . ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ، ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ (1) ﻧﻌﻮّﺽ 1 8

x  ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴّﺔ، ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

log log  

1 2

log

18 2 3

4

2

2

2

ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﻣُﺤﺘﻮﻯ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 18 ) ﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ( ﻣﻮﺟﺐ، ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﻞ 1 8 x  ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳﺾ .

 



(2) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

log (

) log (

)

2 1 x

1

x

اﻟﺤﻞّ: ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ

x  .

1 0 x   ﻭﺃﻳﻀًﺎ 2 1 0 x   ،

1 2

ﺃﻱ

1 x    

ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ : 2  x ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺤﻞ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳﺾ ) 1 2

2 1 x

x  .(



1  



(3) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

log log ( x

) log (

)

3 5 x

x

3

3

3

اﻟﺤﻞّ: ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ، ﻧﻔﺤﺺ ﻣﺘﻰ ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ :

3 x   ،

1 x   ﻭﺃﻳﻀًﺎ

x  ﻭﺃﻳﻀًﺎ

5 0

0

0

x  .

x  ﻭﺃﻳﻀًﺎ

x  ﻭﺃﻳﻀًﺎ 1

5 3

ﺃﻱ، 0

ﺃﻱ ﺃﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ 1 x  . ﺣﺴﺐ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﺎﺕ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ :

_

i

1  



3 log (

) log (

)

3 5 x

x x

3

) x   

ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴّﺔ :

(

1 3 5

x x





ﺍﻟّﺘﻲ ﺣﻼّﻫﺎ ﻫﻤﺎ :

,

5

1

x

x

1

2

1 x  ﻻ ﻳُﻘﺒَﻞ، ﻷﻧّﻪ ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳﺾ .

ﺍﻟﺤﻞّ

2

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– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ