מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

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ﺍﻟﻔﺻﻝ :7 ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ ﻭﻣﺗﺑﺎﻳﻧﺎﺕ ﻟﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

ﺍﻟﻔﺼﻞ :7 ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ ﻭﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

ﺗﺬﻛﻴﺮ :

log

x 

x

a

) 1 (

a

1 a a  a a 

a log a 

ﻓﻲ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺨﺼﺎﺋﺺ اﻟـ 3 ، اﻟﻌﺪد a

ﻷنّ

) 2 (

1

b a log a b  a 1 0 log 

b b

ﻣﻮﺟﺐ وﻻ ﻳﺴﺎوي 1 ، أي :

) 3 (

ﻷنّ

0 a 

a  .

a  , 1

ﻷنّ

) 4 (

1

0

a a a log ( ) log log   xy x y

0 y x     , , 0 a

) 5 ( ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب

1

0

a log log _ i   x y x

0 y x     , , 0 a

log

) 6 ( ﻟﻮ ﻏﺮﻳﺜﻢ ﻗﺴﻤﺔ

y

1

0

a

a

 

b

0 a x    ,

) 7 ( ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻗﻮّة

log

b log

1

0

x

x

a

a

ﺃ . ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ ﺑﺴﻴﻄﺔ ) ﺍِﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻘﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴّﺔ (

ﺃ 1.

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

5 3 2 2 log ( ) x  

(1) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

اﻟﺤﻞّ: ﻧﺠﺪ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

3 2 0 x x    

1.5

2 5 3 2 x  

ﺣﺴﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :



2

22

x



11

x

ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟّﺬﻱ ﻭﺟﺪﻧﺎﻩ ﻳﺤﻘّﻖ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﻮﻳ ﺾ.

3  

(2) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

x

ln

2

e

اﻟﺤﻞّ: ﺑﻤﺎ ﺃﻥ

3  

ﻟﻜﻞّ x ، ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻮ ﻛﻞ x .

x

0

e

3 x        2 3 x x

2

ﺣﺴﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ

5

e e

2 ) x x  

(3) ﺣﻠّﻮﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

log (

1

1 2

اﻟﺤﻞّ: ﻧﺠﺪ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :

( ) x x   

2 x x   ، ﺃﻱ ﺃﻥّ

1 0

0

x

ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻮ : x  ﻧﺘﻤﻌّﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﻄﺎﺓ، ﻭﺑﺤﺴﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : 1 1 x  ﺃﻭ 0

1

0

1 2   _ i



2

x x

2 x x       2 2 0

2

x x





ﺣﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘّﺮﺑﻴﻌﻴّﺔ ﺍﻟﻨّﺎﺗﺠﺔ ﻫﻤﺎ :

,

2

1

x

x

1

2

ﻳﺤﻘّﻖ ﻫﺬﺍﻥ ﺍﻟﺤﻠ ﱠ ﻴْﻦ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ