מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 61 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :6 ﺍﻟﺩّﺍﻟّﺔ ﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

ﺍﻟﻔﺼﻞ :6 ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ



x  .

a  ( ﻣﻌﺮّﻓﺔ ﻟﻜﻞ 0

a  ، 1

ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﻴّﺔ

)

a log

0

y

x

ﻟﺬﺍ، ﻻ ﻳﻘﻄﻊ ﺭﺳﻤ ﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ y . ﻧﻔﺤﺺ ﺗﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴ ﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ x : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ 0

y  ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

x 

،

log

0

a

0 a x   . ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ



ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ x ﻓﻲ ﺍﻟﻨّﻘﻄﺔ

ﻭﻣﻦ ﻫﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

1 0 ( , ) .

a log

1

y

x

0 a   .

a  ، ﻭﺑﻴﻦ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟّﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ

ﻧُﻤﻴّﺰ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟّﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ 1

1



a  ، ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ

، ﺗﺼﺎﻋﺪﻳّﺔ ﺗﻤﺎﻣًﺎ( .

ﻫﻲ ﺩﺍﻟّﺔ ﺭﺗﻴﺒﺔ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳّﺔ )ﺃﻱ

ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟّﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ 1

a log

y

x



ﻫﻲ ﺩﺍﻟّﺔ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳّﺔ .

3 log

ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜﺎل:

y

x

3 1 3 2 log log x x 

1 2 x x  ، ﻋﻨﺪﻫﺎ

ﺳﻨﺸﺮﺡ ﺫﻟﻚ ﺑﺸﻜﻞٍ ﺣﺪﺳﻲٍّ : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ

ﻣﺜﺎل: 27 9 log log  ﻷﻥ ﺍﻷﺱ ﺍﻟّﺬﻱ ﻧﺮﻓﻊ ﺑﻪ ﺍﻷﺳﺎﺱ 3 ﻟﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ، 27 ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﺍﻷﺱ ﺍﻟّﺬﻱ ﻧﺮﻓﻊ ﺑﻪ ﺍﻷﺳﺎﺱ 3 ﻟﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ . 9 27 9  ، ﻟﺬﺍ 3 3



ﻧﺮﺳﻢ ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ :

:

2 log

y

x

y

1 8

1 4

1 2

8

1 6

1

2

4

x

3 

2 

1 

0

3

1

2

4

y

x

0

1

ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟّﺬﻱ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ 1 x   . ﻳﻘﺘﺮﺏ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ y ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﻭﻟﻜﻦ ﻻ ﻳﻘﻄﻌﻪ ﻷﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﺮﻳﻒ ﻫﻮ 0 x  . ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ y ﻳﺸﻜّﻞ ﱠﻂ ﺗﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻳ"ﺎ ﺧ ﻟﻠﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ . x  ، ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟّﺬﻱ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ 0 1



0 a   ، ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ

ﻫﻲ ﺩﺍﻟّﺔ ﺭﺗﻴﺒﺔ ﺗﻨﺎﺯﻟﻴّﺔ )ﺃﻱ، ﺗﻨﺎﺯﻟﻴّﺔ ﺗﻤﺎﻣًﺎ( .

ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟّﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ

a log

1

y

x

y



0 a   :(

) ﻣﺜﺎﻝ ﻷﺳﺎﺱ a ، ﻣﻘﺪﺍﺭﻩ

ﻧﺮﺳﻢ ﻟﻠﺘّﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ

log

1

y

x

1 2

1 8

1 4

1 2

8

1 6

1

2

4

x

x

0

1

3 

1 

2 

4 

3

0

2

1

y

ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟّﺬﻱ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ x  . ﺃﻳﻀًﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ، ﻳﻘﺘﺮﺏ ﺍﻟﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ y ﻭﻟﻜﻦ ﻻ ﻳﻘﻄﻌﻪ ﻷﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘّﻌﺮﻳﻒ ﻫﻮ 0 x  . ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ y ﻳﺸﻜّﻞ ﱠﻂ ﺗﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻳ"ﺎ ﺧ ﻟﻠﺮّﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪّﺍﻟّﺔ . 0 1 x   ، ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟّﺬﻱ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺪّﺍﻟّﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ 1

ﻓﻲ ﻫﺬَﻳْﻦ ﺍﻟﺮّﺳﻤَﻴْﻦ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ :  2 log y x 

ﻫﻲ ﺩﺍﻟّﺔ ﺭﺗﻴﺒﺔ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳّﺔ .





ﻫﻲ ﺩﺍﻟّﺔ ﺭﺗﻴﺒﺔ ﺗﻨﺎﺯﻟﻴّﺔ .

log

y

x

1 2

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ