מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'
ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ
- 57 -
ﺍﻟﻔﺻﻝ :5 ﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﺎﺕ
ﺏ . ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﺎﺕ
log b x x
b
a
، ﻧﺒﺮﻫﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻭﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺃﺧﺮﻯ
ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ
a
ﻟﻌﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ، ﻭﻧﺮﻗّﻤﻬﺎ .
a log ﻳُﻘﺮَﺃُ، ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ x ﺣﺴﺐ ﺍ ﻷﺳﺎﺱ a ، وﻣﻌﻨﺎه: ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ a ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ x . x
ﺗﺬ ﻛﻴﺮ : ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ
log
x
x
ﺑﺤﺴﺐ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘّﻌﺮﻳﻒ، ﺗﺘﺤﻘّﻖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ :
a
) 1 (
a
ﺩﻋﻮﻧﺎ ﻧﺮﻯ ﻣﺜﺎﻟﻴﻦ ﻋﺪﺩﻳﱠﻴْﻦ ﻳﻮﺿّ ﺤ ﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ .(1) (1) ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ 2 8 log
ﱠﺱ ﺍﻟﻘﻮّﺓ، ﻳﻤﺜّﻞ ﺃ ﺍﻟّ ﺬ ﻱ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻧﺮﻓﻊ ﺑﻪ ﺍﻷﺳﺎﺱ 2 ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ، 8
log
8
8
.
2 8 log ، ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ، 8 ﺃﻱ،
ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺧﺬﻧﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2 ﻭﺭﻓﻌﻨﺎﻩ ﻟﻠﻘﻮّﺓ
2
2
log
1 2 3
?
.
(2) ﻧﺤﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ :
3
log ﻳﻤﺜّﻞ ﺃُﺱ ﺍﻟﻘﻮّﺓ، ﺍﻟّﺬﻱ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻧﺮﻓﻊ ﺑﻪ ﺍﻷﺳﺎﺱ 3 ﻛﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 1 2 ،
1 2
ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ
3
، ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 1 2 ،
1 2
ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺧﺬﻧﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3 ﻭﺭﻓﻌﻨﺎﻩ ﻟﻠﻘﻮّﺓ
log
3
log
1 2 3
ﺃﻱ، . ﻧﻌﺮﺽ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺪّﺓ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻟﻌﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ . 1 2 3
1 a a a a
a log a
ﻓﻲ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺨﺼﺎﺋﺺ اﻟﺜّﻼث
) 2 (
ﻷنّ
1
b a log a b a 1 0 log
b b
اﻟﻌﺪد a ﻣﻮﺟﺐ وﻻ ﻳﺴﺎوي 1 ،
) 3 (
ﻷنّ
0 a
a .
a ، 1
أي : 0
) 4 (
ﻷنّ
1
ﺍﻟﺨﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺜّﻼﺙ ﻫﺬﻩ ﺗُﺴﻤّﻰ ﺍﻟﺨﺼﺎﺋﺺ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴّﺔ ، ﻭﻫﻲ ﺗﻨﺒﻊ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ .
) 5 ( ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب
0 y x , , 0 a
a a a log ( ) log log xy x y
1
0
ﺑﻜﻠﻤﺎتٍ: ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻳﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻠ ﻮﻏﺮﻳ ﺜ ﻤﺎت ﻟﻠﻌﻮاﻣﻞ ﻓﻲ اﻟﻀّ ﺮب ) ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﺎت ﺣﺴﺐ ﻧﻔﺲ اﻷﺳﺎس .( ﺑﺮھﺎن: ﻧﺮﻣﺰ: a log a u x u x , a log a v y v y ﻧﻌﻮّﺽ ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : a a a log ( ) log (aa) log a u v u v xy ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ ﺍﻟﺨﺎﺻّﻴّﺔ ) 3 ( ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : a a a log log log (uv) u v x y اﻧﺘﺒﮫﻮا: ﻓﻲ ﺍ ﻟﻤﺜﺎﻟَﻴْﻦ (1) ﻭَ (2) ﺍِﺳﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ (5) ﻓﻲ ﺍﻻﺗّﺠﺎﻫَﻴْﻦ : ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ (1) ﺍِﻧﻄﻠﻘﻨﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻄّﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄّﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ، ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ (2) ﺍِﻧﻄﻠﻘﻨﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻄّﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻄّﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ . ﻣﺜﺎﻻن: (1) 5 5 5 log ( 5 2 log log 12.5 2 12.5 25 2 ) log (2) 1 6 16 log ( 16 ) log log 16 1 1 2 2 1 64 16 4 16 4 1 log
© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –
– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ
Made with FlippingBook Ebook Creator