מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 54 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :5 ﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﺎﺕ

ﻧﺴﻤّﻲ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺣﺴﺐ ﺍﻷﺳﺎﺱ e ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻁﺒﻴﻌﻲ . ﻭﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ln . ﺑﺪﻝ ﺃﻥ ﻧﻜﺘﺐ e log x ، ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﺼﺮﺓ ln x .

1 e e  .(







) ﻷﻥّ

ﺣﺴﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻳﺘﺤﻘّﻖ :

ln log e

1

e

e

0 e  .(

1 1 0 ln log e  



) ﻷﻥّ

1

  LN 3 =

ﻧﺠﺪ ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﻗﻴﻤﺔ 3 ln ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻫﻜﺬﺍ :

ﺑﻌﺪ ﺍ ﻟﻘﻴﺎﻡ ﺑﻬﺬﺍ، ﺳﻴﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺷﺎﺷﺔ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ . 1.098612289 ﺃﻱ :

3 1.098612289 ln 

15 2.708050201 ln 

ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﺸﺎﺑﻬﺔ ﻧﺤﺴﺐ ﻓﻲ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :

ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻤِﻔﺘﺎﺡ ln ﻛﻲ ﻧﺠﺪ ﺃﺱ ﺍﻟﻘﻮّﺓ x e .

x e  ،

ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ

7

ﻣﺜﺎل:

x 

ﻋﻨﺪﻫﺎ

7 log e

x   .

ﺃﻭ

7 1.945910149 ln

أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ

x e  .

(1) ) ﺃ ( ﺟﺪﻭﺍ ﻗﻴﻤﺔ x ﺍﻟّﺘﻲ ﺗُﺤﻘّﻖ : 10 ) ﺏ ( ﺟﺪﻭﺍ ﻗﻴﻤﺔ y ﺍﻟّﺘﻲ ﺗُﺤﻘّﻖ : 100

y e  .

اﻟﺤﻞّ: ) ﺃ (

x  

10 2.302585093 ln

) ﺏ ( 100 4.605170186 ln y   ﺳﺆال: ﺍِﺷﺮﺣﻮﺍ ﻟﻤﺎﺫﺍ ﺍﻟﻨّﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟّﺘﻲ ﺣﺼﻠﺘﻢ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ) ﺏ ( ﺃﻛﺒﺮ ﺑﺎﻟﻀّﺒﻂ ﺑﻀﻌﻔَﻴْﻦ ﻣﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺒﻨﺪ ) ﺃ ؟ ( ) إرﺷﺎد: 2 10 100  .( ﺟ ﻮاب: ﻳﺘﺤﻘّﻖ : 2 2 2 100 10 ( ) ( ) y x x e e e     ﻭﻟﺬﺍ : 2 y x  .

x e  .

(2) ) ﺃ ( ﺟﺪﻭﺍ ﻗﻴﻤﺔ x ﺍﻟّﺘﻲ ﺗُﺤﻘّﻖ : 2

y e  .

) ﺏ ( ﺟﺪﻭﺍ ﻗﻴﻤﺔ y ﺍﻟّﺘﻲ ﺗُﺤﻘّﻖ : 0.5

اﻟﺤﻞّ:

x  

) ﺃ (

2 0.69314718 ln

) ﺏ ( 0.5 0.69314718 ln y   ﺳﺆال: ﺍِﺷﺮﺣﻮﺍ ﻟﻤﺎﺫﺍ ﺍﻟﻨّﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟّﺘﻲ ﺣﺼﻠﺘﻢ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ) ﺏ ،( ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤُﻀﺎﺩ ﻟﻠﻨّﺘﻴﺠﺔ، ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ) ﺃ ؟ ( ) إرﺷﺎد: 1 0.5 2   .( ﺟﻮاب: ﻳﺘﺤﻘّﻖ : 1 1 0.5 2 ( ) ( ) x y x e e e        ﻭﻟﺬﺍ : y x  .

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳ ﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ