מתמטיקה - 4 יח"ל - כיתה י"ב - חלק א'

ﺟﺑﺭ ﻭﻣﻘﺩّﻣﺔ ﻟﻠﺗّﺣﻠﻳﻝ ﺍﻟﺭّﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺩّﻭﺍﻝ ﺍﻷﺳّﻳّﺔ ﻭﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﻳّﺔ

- 52 -

ﺍﻟﻔﺻﻝ :5 ﺍﻟﻠّﻭﻏﺭﻳﺛﻣﺎﺕ

ﺍﻟﻔﺼﻞ :5 ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻤﺎﺕ

ﺃ . ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ

ﺎ، ﻋﻤﻠﻴ ﻋﻤﻠﻴّﺘﺎﻥ ﻋﻜﺴﻴّﺘﺎﻥ .

ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﻫﻲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴّﺔ ﻟﻌﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ . ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻌﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻘﻮّﺓ،

ﻧﺘﻤﻌّﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ : n a b  .  ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﺠﺬﺭ ) ﻣﻦ ﺍﻟﺪّﺭﺟﺔ n ، ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻌﺮّﻓًﺎ ﻭﻣﻮﺟﻮﺩًﺍ ( ﻧﺠﺪ ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻘﻮّﺓ a : a   .  ﺑﻤﺴﺎﻋﺪﺓ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ) ﺣﺴﺐ ﺍﻷﺳﺎﺱ a ( ﻧﺠﺪ ﺃُﺱ ﺍﻟﻘﻮّﺓ n . ﻧﺮﻣﺰ ﺇﻟﻰ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ ﺑـ log ) ﻭﻫﻜﺬﺍ ﺃﻳﻀًﺎ ﺃُﺷﻴﺮ ﻋﻠﻰ ﻣِﻔﺘﺎﺡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ .( ﻣﺜﺎل: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ n 2 8  ، ﻋﻨﺪﻫﺎ 2 8 n log  . ﻣﺜﺎل: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ 3 a  ، ﻋﻨﺪﻫﺎ 8 3 8 2

n a b  .

ﻧﻘﺮﺃ ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 8 ﻟﻸﺳﺎﺱ 2 . اﻟﻤ ﻌﻨﻰ: ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2 ﻛﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ؟ 8 ﺟﻮاب: ، 3 ﻷﻥّ 3 2 8  . ﺃﻱ : 2 8 3 log  .

2 8 log

ﻣﮫﻤّﺔ : ﻣﻌﻨﻰ اﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ

ﻓﻲ ﻛﻞ ﻭﺍﺣﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻨﻮﺩ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴ ﺔ ﻭﻓﻘًﺎ ﻟﻠﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﻤﻌﻄﻰ .

ﺃﻛﻤﻠﻮﺍ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻨّﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟـ

2 32 ? log  ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 32 ﻟﻸﺳﺎﺱ 2 ، ﻣﻌﻨﻰ: ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2 ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ؟ 32

5 2 32  .

5 ، ﻷﻥّ

ﺟﻮاب:

10  ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 100 ﻟﻸﺳﺎﺱ 10 ، 100 ? log

) ﺃ (

؟ 100

ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ 10 ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ

ﻣﻌﻨﻰ:

، ﻷﻥّ 10 100   .

ﺟﻮاب:

5 1 ? log  ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 1 ﻟﻸﺳﺎﺱ 5 ،

) ﺏ (

ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ 5 ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ؟ 1

ﻣﻌﻨﻰ:

5 1 

 .

0 ، ﻷﻥّ

ﺟﻮاب:

1 8  ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 1 8 ?

) ﺝ (

log

2

؟

ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2 ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ

ﻟﻸﺳﺎﺱ 2 ،

ﻣﻌﻨﻰ:

ﺟﻮاب: 3  ، ﻷﻥّ

 .

2 

1 8

9 27 ? log  ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 27 ﻟﻸﺳﺎﺱ 9 ،

) ﺩ (

ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ؟ 27

ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ

ﻣﻌﻨﻰ:

2 3 9 3 27 3   , (

، ﻷﻥّ 9 27 

 ) . ﺇﺭﺷﺎﺩ :

ﺟﻮاب:

ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨّﺤﻮ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻲ : ﻟﻮﻏﺮﻳﺜﻢ x ﻟﻸﺳﺎﺱ a ،

ﻧ ﻘﺮﺃ ﺍﻟﺘّﻌﺒﻴﺮ

a log

x

وﻣﻌﻨﺎه : ﺑﺄﻱّ ﺃُﺱٍّ ﻳﺠﺐ ﺭﻓﻊ a ﻟﻜﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ x .

log b    x x

b

a

ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡٍّ، ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺻﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺘّﺎﻟﻴﺔ ) ﺗُﺴﻤّﻰ ﺃﻳﻀًﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻋﻤﻠﻴّﺔ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ :( a  ; ﺍﻟﻌﺪﺩ x ) ﻭﺍﻟّ ﺬﻱ ﻳُﺴﻤّﻰ ﺃﻳﻀًﺎ ﻣﺤﺘﻮﻯ ﺍﻟﻠّ ﻮﻏﺎﺭﻳﺘﻢ ( ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺒًﺎ : 0 ﺍﻟﻌﺪﺩ a ﻳُﺴﻤّﻰ ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻠّﻮﻏﺮﻳﺜﻢ 0 a  ، 1

a

x  ; ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻠﻌﺪﺩ b ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻱ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ .

© ﺟﻣﻳﻊ ﺍﻟﺣﻘﻭﻕ ﻣﺣﻔﻭﻅﺔ ﻟﺟﺎﺑﻲ ﻳﻛﻭﺋﻳﻝ –

– ﺭﻳﺎﺿﻳّﺎﺕ ﻟﻁﻼّﺏ 4 ﻭﺣﺩﺍﺕ ﺗﻌﻠﻳ ﻣﻳّﺔ – ﺍﻟﺻّﻑ ﺍﻟﺛّﺎﻧﻲ ﻋﺷﺭ – ﺍﻟﻣﻧﻬﺞ ﺍﻟﺟﺩﻳﺩ